\documentclass[12pt,a4paper]{article}


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\usepackage{ifpdf} % pour la ligne suivante qui permet de compiler en
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                                               % en metapost

\usepackage{eurosym}           % pour le symbole euro
\usepackage{textcomp}          % pour les degrés ?

\usepackage{enumerate}         % pour numéroter les questions
\usepackage{xspace}

\setlength{\parindent}{0mm}    % pas de retrait 1ère ligne de paragraphe
\usepackage{mathrsfs}          % pour le''C'' des cercles (police)
\usepackage{amsthm}
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\newtheoremstyle{monstyle}
  {\parskip}%      Espace vertical avant
  {\baselineskip}% Espace vertical après
  {}%              Police texte
  {}%              Retrait horizontal
  {\bfseries}%     Police en-tête
  {.}%             Ponctuation après en-tête
  {\newline  }%      Espace après en-tête
  {}% ???

% \mbox{}\vspace{-1.4\baselineskip} (enumerate après exo)

\theoremstyle{monstyle}
\newtheorem{exo}{Exercice}       % numérotation des exos
\newtheorem{quest}{Question} 

\newlength{\mahauteur}  % variable contenant la hauteur
                        % de l'image de la minipage de droite.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% définitions du titre
\newcommand{\classe}{$2^{\textrm{nde}}$~13}
\newcommand{\titre}{Devoir maison \no 4}
\renewcommand{\date}{pour le 19 janvier 2007}
\newcommand{\devoir}{\makebox[\textwidth]{\classe \hfill \textsc{\titre} \hfill \date}
\rule{\textwidth}{0.5pt}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% définition du symbole parallèle
\newcommand{\para}{\ensuremath{/\!/}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Commandes permettant d'écrire cm, dm, mm  %
% et m en mode maths (sans italique)        %
\newcommand{\m}{\ensuremath{\textrm{~m}}}   %
\newcommand{\dm}{\ensuremath{\textrm{~dm}}} %
\newcommand{\cm}{\ensuremath{\textrm{~cm}}} %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


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\sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}}
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\renewcommand\thesection{\Roman{section} -}
\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection}. }


\begin{document}

\devoir
\vspace{\parskip}

\emph{\textbf{Préliminaires :} ce devoir nécessite un peu de recherche personnelle. N'hésitez donc
  pas à ouvrir des dictionnaires, des manuels de mathématiques, à hanter le CDI...}

Un polyèdre est un solide de l'espace delimité par des faces polygonales. Le cube, le pavé droit, \dots sont des polyèdres.

Un polyèdre est dit \emph{régulier} si toutes ses faces sont identiques et qu'elles sont des polygones réguliers. Dans ce devoir, on ne s'intéressera qu'au polyèdres \emph{convexes} c'est à dire sans \og creux\fg. Ces solides sont appelés \emph{solides de Platon} (427 av. J.-C. / 348 av. J.-C.).

L'objectif du devoir est de montrer qu'il n'existe que cinq solides de Platon.

\section{  Les polygones réguliers}

\begin{enumerate}
\item Donner la définition d'un polygone régulier à $n$ côtés.
\item On considère $ABCDE$ un pentagone régulier de centre $O$ tel que $OA=4$~cm. On note $I$ le milieu de $[AB]$.
  \begin{enumerate}[a.]
  \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{AOB}$.
  \item On admet que $\sin36^\circ=\frac14\sqrt{10-2\sqrt{5}}$. Calculer la valeur exacte de $IB$ puis celle de $AB$.
  \item Montrer que la valeur exacte de $OI$ est $\sqrt{6+2\sqrt{5}}$.
  \item Calculer le périmètre puis l'aire de $ABCDE$. Donner les valeurs arrondies au dixième.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Les solides de Platon}

On considère un polyèdre régulier convexe. On note $A$ son nombre d'arêtes, $S$ sont nombre de sommets et $F$ son nombre de faces.

On admet la formule suivante qui est vraie pour tous les polyèdres de l'espace  :
\[S+F=2+A\quad (1)\textrm{ formule d'Euler (\nombre{1707}/\nombre{1783})}\]

Les faces du solide sont des polygones réguliers à $n$~côtés. Toutes les faces du solide sont identiques donc chaque sommet appartient à un même nombre de faces; on appelle ce nombre~$m$ : c'est à dire que chaque sommet du polyèdre est aussi le sommet de $m$~faces du solide. 

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $m$ et $n$ sont supérieurs ou égaux à 3.
\item À combien de faces appartient chaque arête ? Expliquer alors pourquoi $2A=nF$.
\item\label{ega1} On suppose qu'on découpe chaque face du patron du solide pour obtenir $F$ polygones réguliers à $n$ côtés.
  \begin{enumerate}[a.]
  \item Exprimer en fonction de $n$ et $F$ le nombre total de sommets.
  \item Même question en fonction de $m$ et $S$.
  \item En déduire que $nF=mS$.
  \end{enumerate}
On a donc : $2A=nF=mS$ $(2)$.
\item Diviser les deux membres de l'égalité $(1)$ par $2A$. En déduire en utilisant $(2)$ la formule suivante :
\[\frac1m+\frac1n=\frac1A+\frac12\quad(3)\]
\item $A$ est strictement positif donc $\frac1A$ aussi. En déduire que $\frac12<\frac1m+\frac1n$.
\item Cette inégalité peut-elle être vérifiée si $m$ et $n$ sont tous les deux supérieurs ou égaux à~4 ? 

On conclut donc que soit $m$, soit $n$ (soit les deux) est égal à~3.
\item Dans cette question on suppose que $n=3$ :
  \begin{enumerate}[a.]
  \item Remplacer $n$ par 3 dans l'égalité $(3)$. Montrer alors que $\frac1m=\frac16+\frac1A$.
  \item $m$ peut-il être égal à 6 ? Justifier. $m$ peut-il être supérieur à 6 ?
  \item Conclusion : si $n=3$, quelles sont les trois valeurs possibles de $m$ ?
  \end{enumerate}
\item Dans cette question, c'est $m$ qui vaut 3. En utilisant un raisonnement analogue à la question précédente, expliquer pourquoi les seules valeurs possibles de $n$ sont alors 3, 4 et 5.


Finalement, on a trouvé cinq solutions pour les nombres $n$ et $m$ :
\[\left\{
  \begin{array}[c]{l}
    n=3\\m=3
  \end{array}\right.;\qquad
  \left\{\begin{array}[c]{l}
    n=3\\m=4
  \end{array}\right.;\qquad
  \left\{\begin{array}[c]{l}
    n=3\\m=5
  \end{array}\right.;\qquad
  \left\{\begin{array}[c]{l}
    n=4\\m=3
  \end{array}\right.;\qquad
  \left\{\begin{array}[c]{l}
    n=5\\m=3
  \end{array}\right.
\]
Ces cinq solutions correspondent chacune à un polyèdre régulier.

\item Étude des polyèdres :
  \begin{enumerate}[a.]
  \item Que peut-on dire des faces du polyèdre si $n=3$ ? si $n=4$ ? si $n=5$ ?
  \item Pour chaque solution trouvée pour le couple $(m;n)$ déterminer le nombre de faces, le nombre de sommets et le nombre d'arêtes du polyèdre correspondant. (On pourra s'aider de la double égalité~$(2)$ trouvée à la question~\ref{ega1} et de la formule d'Euler)
  \item Trouver pour chaque cas le nom du polyèdre correspondant.
  \end{enumerate}
\item Associer à chaque figure ci-dessous son nom  :
 \begin{center}
    \includegraphics[width=.25\textwidth]{tetraedre}\hspace{1cm}
    \includegraphics[width=.25\textwidth]{cube}\hspace{1cm}
    \includegraphics[width=.25\textwidth]{octaedre}
  

    \includegraphics[width=.25\textwidth]{icosaedre}\hspace{1cm}
    \includegraphics[width=.25\textwidth]{dodecaedre}
 \end{center} 
\end{enumerate}



  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Pour remettre à zéro le compteur des exercices :
%\setcounter{exo}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\vfill
\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
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%%% End: 
 
 
