%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{Reflexion.mp}

%input newcourbes;
%input couleur;
input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex




figure(-1cm,-1cm,10.5cm,7.5cm);
  marque_a:=60;
  pair o,a,b,c;
  o:=origin;
  a:=(10cm,0);
  b:=(10cm,-1cm);
  c:=(0,-1cm);
  path r;
  draw o--a withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
  r:=o--a--b--c--cycle;
  trace hachurage(r,30,0.2,0);
  pair inc,sol,refl,nor;
  inc:=(1cm,5cm);
  sol:=(5cm,0);
  refl:=(9cm,5cm);
  nor:=(5cm,5cm);
  drawarrow inc--sol withpen pencircle scaled 1.4bp withcolor 0.2white;
  drawarrow sol--refl withpen pencircle scaled 1.4bp withcolor 0.6white;
  draw nor--sol dashed evenly scaled 2 withpen pencircle scaled 1.2bp;
  trace Codeangle(nor,sol,inc,5,btex $\theta_1$ etex ) withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor 0.2white;
  trace Codeanglen(nor,sol,refl,5,btex $\theta_2$ etex ) withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor 0.6white;
  label.top(btex Rayon incident etex,inc ) withcolor 0.2white;
  label.top(btex Rayon réfléchi etex,refl )withcolor 0.6white;
  label.top(btex Normale au point d'incidence  etex,nor );
  
  fin;
  
  end


\end{filecontents*}









\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{filecontents}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}          % les bons codes pour les bonnes lettres
\usepackage{listings}% pour les listings informatiques
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{keystroke}% pour les touches du clavier
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,geometry,pst-all}
\usepackage{amssymb}
\geometry{a4paper,left=1cm,right=1cm,top=1cm,bottom=1cm,noheadfoot}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} %pour faire un arc de cercle $\wideparen{AB}$ 
\usepackage{eurosym} % pour avoir le symbole euro \euro
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0cm}
\usepackage{multicol}
\usepackage{slashbox} %pour barrer une cellule d'un tableau
\usepackage{color}
\usepackage{mathrsfs, wasysym} % mathscfs donne accès aux lettres curvilignes
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey} % packages utiles pour le pstricks
\usepackage{multirow,colortbl,tabularx} % packages utilisés dans un tableau (tabular)
\usepackage{array}
\usepackage{calc,fp}

\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ceci sert lorsqu'on remplit une figure géométrique

\newcounter{numero}
\newcommand{\partie}{
\addtocounter{numero}{1}%
\textbf{\psframebox*[fillcolor=black!60]{\textbf{\white Partie \arabic{numero}:}}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% incrémente le numéro de la partie

\setlength\leftmargini{0.73cm}
\renewcommand{\labelenumi}{\psframebox*[fillcolor=black!25]{\textbf{\white{\arabic{enumi}.}}}}
\setlength\leftmarginii{0.40cm}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii}.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% définition des items

\newcounter{degradecadre}
\newcounter{ptinit}
\newcounter{ptfin}
\newcounter{ycadreinit}
\newcounter{ycadrefin}
\newcommand{\cadre}[2]{\begin{pspicture}(0,0)(19,1.4)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\multido{\n=1+1}{2}{
			\FPeval{\degradecadre}{90-\i*4}
			\FPeval{\ptinit}{1.1875*(\i-1)}
			\FPeval{\ptfin}{1.1875*(\i-1)+1.1875}
			\FPeval{\ycadreinit}{(\n-1)*1.4}
			\FPeval{\ycadrefin}{(\n-1)*1.4+0.1}
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degradecadre,linestyle=none](\ptinit,\ycadreinit)(\ptfin,\ycadrefin)}}
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!90,linestyle=none](0,0)(0.1,1.4)
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!26,linestyle=none](18.9,0)(19,1.4)
	\rput(9.5,1){#1} \rput(9.5,0.4){#2}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% cadre et titre

\newcounter{degrade}
\newcounter{ptdepart}
\newcounter{ptfinal}
\def\lignetirets{\begin{pspicture}(0,0)(19,0.2)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\FPeval{\degrade}{90-\i*4}
		\FPeval{\ptdepart}{1.2*(\i-1)}
		\FPeval{\ptfinal}{1.2*(\i-1)+1}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degrade,linestyle=none](\ptdepart,0)(\ptfinal,0.2)}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ligne tirets

\renewcommand\rmdefault{phv}

\newcommand{\procedure}[3]{
	\setlength{\arrayrulewidth}{1.8pt}
	\begin{tabularx}{#1}[t]{|X}
		\rowcolor[gray]{0.6}
		\textcolor{white}{#2}\\ 
		\cellcolor{gray!20}
		#3\\
	 \hline
	\end{tabularx}
	\setlength{\arrayrulewidth}{0.6pt}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% crée les cadres pour Procédure; en paramètre, on met le texte

\newcommand\R{{\mathbb R}} % les réels
\newcommand\Q{{\mathbb Q}} % les rationnels
\newcommand\Z{{\mathbb Z}} % les entiers relatifs
\newcommand\D{{\mathbb D}} % les décimaux
\newcommand\N{{\mathbb N}} % les entiers naturels
\newcommand\bC{{\mathbb C}} % les complexes
\newcommand\bc{{\mathscr C}} % pour les courbes
\newcommand\Pl{\mathscr{P}} % pour les plans
\newcommand\Oij{$\left(O;~\vec{i},~\vec{j}\right)$} % pour nommer un repère (O;i,j)
\newcommand\cad{c'est-à-dire}
\newcommand\e{\mathrm{e}} %pour écrire correctement le nombre e
\renewcommand\i{\mathrm{i}} %pour écrire correctement le nombre i
\renewcommand\d{\,\text{d}} % pour avoir un d droit dans l'intégrale

\newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{#1}} %pour les vecteurs
\newcommand{\Cnp}[2]{\displaystyle{{#1 \choose #2}}} % pour les p parmi n
\newcommand{\systeme}[2]{\left\{\begin{array}{l}
	#1\\
	#2\\
\end{array}\right.} % pour créer un système de deux équations

\makeatletter
\newlength{\@longarc}
\newcommand{\arc}[1]{\settowidth{\@longarc}{$#1$}
	\addtolength{\@longarc}{-0.2em}
	\unitlength \@longarc
	\ensuremath{
		\stackrel{\begin{picture}(1,0.2)
			\qbezier(0,0)(0.5,0.2)(1,0)
		\end{picture}}
		{#1}
	}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%   Pour les listings de code et les réponses du logiciel


\usepackage{bold-extra,fancyvrb}
\usepackage[scaled=0.85]{luximono}
\DefineVerbatimEnvironment{boxedverbatim}{Verbatim}{gobble=2,frame=single,framesep=4mm,label=\textit{\small
    Réponse du logiciel}}

\definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
\definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2}


\lstloadlanguages{XCAS}
\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{0.2white}\bfseries\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\scriptsize\itshape,%\small,
    backgroundcolor=\color{0.9white},breaklines=true}
   

\newcommand\Prog[1]{{\bfseries\ttfamily #1}}

\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}


% %%% un ; avec un peu d'espace autour pour les intervalles
\newcommand{\pv}{\ensuremath{\: ; \,}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% pour créer un arc de cercle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début du document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\graphicspath{{/home/moi/Figures/}{/home/moi/Liberte/Source/Figures/}}

\begin{document}
\setlength{\unitlength}{1mm}

\cadre{\LARGE \emph{POURQUOI LES  ANTENNES SONT-ELLES PARABOLIQUES~?}}{\Large \emph{Construire point
    par point une parabole et mieux voir la nuit.}}



\textbf{Compétences mathématiques\::}\par
	\hspace{1cm} $\bullet$ La fonction carrée et sa représentation graphique.

\textbf{Compétences informatiques\::}\par
	\hspace{1cm} $\bullet$ Géométrie dynamique avec un paramètre formel.

\textbf{Prérequis\::}\par
	\hspace{1cm} $\bullet$ Rien de particulier.

\lignetirets

\partie \textbf{COMMANDES XCAS UTILES}\\


Nous aurons besoin d'un certain nombre de commandes \Prog{XCAS}
\begin{description}
\item[point(abs,ord)] où \code{abs} et \code{ord} seront respectivement l'abscisse et l'ordonnée d'un point. 
Par exemple,
\begin{lstlisting}
  F:=point(0,0.25)
\end{lstlisting}
placera le point F de coordonnées $(0\pv 0,25)$


\item[droite(point1,point2)] tracera la droite passant par les points \code{point1} et \code{point2}. 

\item[graphe] tracera la représentation graphique d'une fonction. Par exemple
  \begin{lstlisting}
    f:=x->x^2;
    P:=graphe(f(x),x=-2..2.5,couleur=rouge)
  \end{lstlisting}
  définit la fonction $f~:~x\mapsto x^2$ et trace en rouge la représentation graphique de $f$ sur
l'intervalle $[-2\pv 2,5]$. 

\item[projection(D,M)] tracera la projection du point M sur la droite D. 

\item[longueur(M,P)] donnera la longueur du segment $[MP]$. 

\item[evalf(nombre)] donnera  une valeur approchée  d'un nombre (avec  une précision de  10 chiffres
  après la virgule par défaut)

\item[assume(t:=[départ,début,fin])] crée  un nombre \code{t} compris  entre début et  fin avec comme
  valeur de départ \code{départ}. Une petite molette apparaît à
  droite de l'écran. On la bouge avec la souris et la valeur du paramètre change.


\item[coordonnees(M)] donnera les coordonnées du point M. 


\item[mediatrice(M,P)] tracera la médiatrice du segment $[MP]$. 

\item[est\_element(M,E)] répondra 1 ou 0 selon que le point M appartient ou non à l'ensemble E. 

\item[perpendiculaire(M,D)] tracera la perpendiculaire à la droite D passant par M. 

\item[parallele(M,D)] tracera la parallele à la droite D passant par M. 

\item[simplifier(e)] simplifie l'écriture de l'expression e. 

\item[inter\_unique(d,e)]  déterminera l'intersection  entre les  ensembles d  et e  (par exemple  entre une
  droite et une courbe).

\item[couleur] permettra de tracer un élément d'une certaine couleur. Par exemple

  \begin{lstlisting}
    para:=couleur(parallele(F,med),vert)
  \end{lstlisting}

trace la droite \texttt{para} qui est la parallèle à la droite \textsf{med} passant par le point\texttt{ F} en vert. 

\end{description}



\partie \textbf{CONSTRUCTION D'UNE PARABOLE À LA RÈGLE ET AU COMPAS}\\
\procedure{\linewidth}{Le problème}{Soit  $f$ la fonction définie  sur $\R$ par  $f(x)=x^2$. Le plan
  étant  muni d'un  repère orthonormé  \Oij, on  appelle $\mathcal{P}$  la courbe  représentative  de $f$,
  $\mathcal{D}$  la  droite d'équation  $y=-\frac{1}{4}$  et F  le  point  de coordonnées  $\left(0\pv
    \frac{1}{4}\right)$. On veut construire $\mathcal P $ à la règle et au compas...}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Construction}\\
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite D d'équation $y=-\frac{1}{4}$ en vert. 

\item Placer le point F de coordonnées $(0\pv 0,25)$

\item Tracer la parabole P d'équation $y=x^2$ en magenta pour $x$ variant de $-2$ à 2. 

\item Créer un nombre $s$ aléatoirement choisi entre $-2$ et 2. 

\item Créer un point $m$ quelconque appartenant à la droite D. 

\item Tracer $p$, la perpendiculaire à 
 D passant par $m$. 
\item Tracer la médiatrice $med$ du segment $[mF]$ en jaune. 
\item Soit  M l'intersection  de $p$  et de $med$.  Déterminez les  coordonnées de M  et vérifiez  que M
  appartient à P.
\item Vérifier autrement ce résultat à l'aide de la fonction \textsf{est\_element}.

\item Vérifier ce résultat de manière générale en prenant pour coordonnées de m $(x\pv -0,25)$, $x$
étant un réel quelconque. 

\end{enumerate}



\item \textbf{Interprétation}\\

En quoi ces  résultats nous permettent de construire  point par point la parabole $\mathcal  P$ à la
règle et au compas~?


\procedure{\linewidth}{Remarque}{Le point F  est appelé \emph{foyer} de la  parabole $\mathcal P$ et
  la  droite $\mathcal  D$  sa directrice.  Vous étudierez  peut-être  un jour  comment obtenir  les
  coordonnées de F et une équation de $\mathcal D$ pour n'importe quelle parabole.}


\end{enumerate}





\partie \textbf{ENCORE UNE PROPRIÉTÉ DES PARABOLES}\\

\begin{enumerate}
\item Tracer maintenant en magenta la perpendiculaire $perp$ à [MF] en M. 

\item Tracer en vert la parallèle à $med$ passant par F. 

\item Tracer le point $mm$, intersection de $para$ avec $p$. 

\item  Tracer  en  jaune pointillé  (\texttt{jaune+dash\_line})  la  bissectrice $\widehat{FMmm}$  :  que
  constatez-vous~? 

\item  Repasser  en  bleu  avec  une  épaisseur de  trait  de  3  (\texttt{bleu+line\_width\_3})  la
  demi-droite $[M,mm)$ et le segment $[MF]$. 


\end{enumerate}

\partie \textbf{CONNAISSEZ-VOUS LA LOI DE DESCARTES POUR LA REFLEXION~?}\\

\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{Reflexion.1}
\end{center}


On  a $\theta_1=-\theta_2$ et donc la normale au point d'incidence représente la bissectrice de
l'angle géométrique formé par les rayons incident et réfléchi. 

Si on  considère des rayons  venant d'un satellite  , on peut  supposer qu'ils sont  tous parallèles
étant donné qu'il est très éloigné de l'antenne. Notre petite illustration montre alors que tous les
rayons incidents sont envoyés vers le foyer. 

Inversement, si  l'on émet de  la lumière depuis le  foyer, comme c'est  la cas par exemple  dans le
phare  d'une voiture, les  rayons réfléchis  par les  parois du  phare partiront  tous dans  la même
direction, ce qui permettra de diriger le faisceau lumineux et de ne pas éblouir les voitures venant
en face.

\end{document}




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
