%\input{makcyber}
%\input{makpoly}

\documentclass[10pt,a4paper,svgnames]{report}
\usepackage{etex}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage[kpfonts]{preambule}
\usepackage[autolanguage]{numprint}



\entete{\theNumLecon - \NomLecon}{\rightmark}{T\textsuperscript{ale}S4 - Lycée Jean \textsc{Perrin}}%g,d,b


\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{bleu!60!black}\bfseries,basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\footnotesize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{blue!20},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}



\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\graphicspath{{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Photos/TSX/}{/home/moi/Photos/Maths/}}

\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0mm}
\setcounter{NumLecon}{8}




\LECOND{IX}{Huitième}{LOGARITHME}{N\'EP\'ERIEN}{LOGARITHME N\'EP\'ERIEN}{JohnNapier}

\begin{Abstract} Où les mathématiques rejoignent l'alchimie : guidés
par la Force, nos héros transforment les produits en somme, créent
de nouvelles fonctions. On touche au divin...
\end{Abstract}


 \setlength{\parindent}{0pt}
 \section{Différentes définitions}


Comme souvent en mathématiques, un même objet  (ici le logarithme
népérien) peut être défini de différentes manières (nous en
verrons trois) mais nous aboutirons malgré tout aux mêmes
propriétés~: le procédé de fabrication change, mais le produit
fini est le même.


\subsection{Cherchons des fonctions vérifiant f(a x b)=f(a)+
f(b)}

 Historiquement, le logarithme népérien a été pour la
première fois mis en évidence par l'\'Ecossais John
\textsc{Napier} (en français Jean Néper..) au tout début du
$XVII^{e}$ siècle. Afin de faciliter la vie des astronomes,
navigateurs, financiers de l'époque qui étaient confrontés à des
calculs...astronomiques, John rechercha une fonction qui puisse
transformer des produits très compliqués à calculer en sommes plus
abordables. Il a donc été amené à résoudre une \textit{équation
fonctionnelle}, $i.e.$ il a recherché les fonctions $f$ vérifiant
$f(a\times b)=f(a)+f(b)$
Il a pu alors établir des Tables de logarithmes, complétées au fil
des ans par des potes mathématiciens (nous verrons comment ils ont
pu se débrouiller en exercice). À partir de deux nombres $a$ et
$b$, on lit sur les Tables leurs logarithmes $\ln a$ et $\ln b$;
on calcule facilement $\ln a+ \ln b$ qui est égal à $\ln ab$, puis
on cherche sur les Tables le nombre qui admet pour logarithme $\ln
ab$ et qui est bien sûr $ab$.

\subsection{Existe-t-il des primitives de x $\mapsto$ 1/x~?}

Autre problème~: nous connaissons des primitives des fonctions qui
à $x$ associent respectivement $x^2$, $x^1$, $x^0$, $x^{-2}$,
$x^{-3}$, etc. Vous avez tout de suite remarqué que nous avons
oublié quelqu'un~: quelles peuvent être les primitives de la
fonction qui à $x$ associe $x^{-1}=1/x$~? Une rapide enquête
mathématique nous conduit à trouver qu'il s'agit en fait de
fonctions vérifiant l'équation fonctionnelle du copain John. Nous
le verifierons là encore en exercice, et c'était l'approche au
programme jusqu'à l'année dernière.

\subsection{Quelle est la réciproque de la fonction
exponentielle~?}

Cette  année, comme  d'habitude, nous  roulons pour  le  nucléaire. Nous
avons  déjà   défini  une  fonction   obéissant  à  la   \textsl{loi  de
décomposition radioactive}, à savoir  la fonction exponentielle. Mais de
nouveaux  problèmes  se posent  au  moment  de  construire de  nouvelles
centrales~:  dans  combien  de   milliards  d'années  les  habitants  de
Tchernobyl ne  risqueront plus d'attraper  un cancer de la  thyroïde en
ingérant les légumes irradiés de  leurs potagers. Le Physicien est alors
amené à résoudre  une équation d'inconnue $y$ du  type $e^y=32$ Quel est
donc  ce  $y$  dont  l'exponentielle vaut  32~?  Fabrice  \textsc{Couenne},
célèbre physicien du  $XXI^e$ siècle, vous a déjà  donné la réponse~: on
l'appelle $\ln 32$.

Voici un extrait des tables de logarithmes publiées au début du XVII\eme
siècle par John \textsc{Napier} himself :

\begin{center}
%\vspace{-1cm}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{napier_logtable}
\end{center}


% 

%
%Plus généralement, nous allons voir si le mécanisme qui à $e^y$
%associe $y$ est une fonction et si oui découvrir ses propriétés
%qui seront bien sûr celle du logarithme de John.
%
%
%
%Survolons donc la notion de \textit{fonction réciproque}. La
%fonction exponentielle est continue et strictement croissante de
%$\bbr$ vers $]0,+\infty[$. Donc, d'après notre bon vieux
%\textsl{théorème de LA valeur intermédiaire} (appelé en d'autres
%temps théorème de la bijection),  pour tout $x\in]0,+\infty[$, il
%existe un unique réel $y$ tel que $\exp(y)=x$. Compte tenu de
%l'existence et de l'unicité de ce réel, on peut donc
%\textit{définir} une fonction qui à tout $x$ dans $]0,+\infty[$
%associe l'unique réel $y$ tel que $\exp(y)=x$. C'est la fonction
%réciproque de la fonction exponentielle, on la note ln (logarithme
%népérien)
%\begin{center}ln~:\begin{tabular}{l} $]0,+\infty[\to\bbr$\\$ x\mapsto \ln
%x$
%\end{tabular}\end{center}
%
%Après ça, tout coule de source...







\section{Construisons le logarithme}


%Construisons le logarithme népérien


\pro Aujourd'hui, cher disciple, nous allons construire pas à pas
une nouvelle fonction pour combler d'horribles trous noirs de
l'univers, car nous allons enfin donner une primitive à la
fonction inverse, une réciproque à la fonction exponentielle, une
solution à l'équation fonctionnelle $f(ab)=f(a)+f(b)$.

Comme l'a déjà fait un collègue à partir de la côte d'Adam, tels
des dieux de l'esprit, nous allons créer de nouveaux êtres à
partir de la solitaire fonction exponentielle !

\MATA{Je me demande des fois si un bon coup de sabre laser sur la
tête...\textbf{tout haut} Que la Force de l'Esprit soit avec nous
!}

\pro Vous avez déjà fait le lien entre la primitive de la fonction
inverse sur $]0,+\infty[$ qui s'annule en 1 et les fonctions qui
\og~transforment les produits en somme~\fg{}. Mais les maîtres de
l'Empire ont choisi une troisième voie, la fonction exponentielle,
que nous allons relier aux deux premières.

Premier problème : la fonction exponentielle admet-elle une
réciproque ? Et d'abord, qu'est-ce que la réciproque d'une
fonction ?

\tsx Si une fonction $f$ envoie un nombre $x$ vers un nombre $y$,
sa réciproque $f^{-1}$ permet de renvoyer $y$ vers $x$.

\pro Pouvez-vous me donner un exemple ?

\tsx La fonction carrée envoie 2 vers 4 et la fonction racine
carrée renvoie 4 vers 2.

\pro Pour reprendre votre exemple, tout nombre réel admet un et un
seul carré, donc la \og~transformation~\fg{} $x\mapsto x^2$ est bien
une fonction sur $\bbr$. Mais il y a des problèmes pour revenir en
arrière : certains nombres sont les carrés de deux réels comme 4,
d'un seul comme 0 ou même d'aucun comme -32. On ne peut donc pas
toujours définir une fonction \og~retour~\fg{} : n'oubliez pas en
effet que par définition, une fonction numérique fait correspondre
à un réel de l'ensemble de définition un UNIQUE réel.

En fait, on a cherché à résoudre une équation d'inconnue $x$ du
type $x^2=a$ qui peut admettre selon la valeur de $a$ deux, une,
voire aucune solution réelle.

Connaissez-vous un moyen de s'assurer qu'une équation du type
$f(x)=a$ admet une unique solution sur un ensemble donné ?

\tsx Vous me prenez pour un rigolo : le théorème de LA valeur
intermédiaire bien sûr !

\pro J'ai du mal à réaliser à quel point la Force est en vous.
Vous allez donc pouvoir relier tout ceci à la fonction
exponentielle.

\tsx La fonction exponentielle est \textit{continue} et
\textit{strictement croissante} sur $\bbr$ et à valeurs dans
$]0,+\infty[$.

Donc, pour tout réel $a$ \textit{strictement positif}, l'équation
$\exp(x)=a$ admet une unique solution réelle.

\pro Si je résume, à tout réel \textit{strictement positif} $x$ on
peut associer un $unique$ réel $y$ tel que $x=\exp(y)$. On notera
ce réel $\ln x$ (logarithme népérien de $x$) et nous pouvons
maintenant énoncer : \\



\begin{figure}[!h]
  \begin{Theoreme}[définition du logarithme népérien]
    La fonction exponentielle admet une
fonction réciproque défine sur $]0,+\infty[$ et à valeurs dans
$\bbr$ appelée fonction logarithme népérien. On note $\ln x$
l'image d'un réel strictement positif par cette fonction.
Alors,
\[\text{pour tout } x>0,\ e^{\ln x}=x \quad \text{et}\quad \text{pour tout réel }
x,\ \ln e^x=x\] 
    \end{Theoreme}
  \end{figure}





\tsx Je ne vois toujours pas le lien avec les primitives de la
fonction inverse et l'équation fonctionnelle.

\pro Comme la fonction exponentielle ne s'annule pas sur $\bbr$,
nous admettrons cette année que sa réciproque est dérivable. Donc
$\ln $ est dérivable sur $]0,+\infty[$. Notons provisoirement
$\ln'$ sa dérivée. Nous savons juste que $\exp(\ln x)=x$. Essayez
d'en déduire une expression de $\ln' x$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\tsx Pour obtenir $\ln'$, il faudrait dériver quelque chose. Or
nous n'avons qu'une relation à nous mettre sous la dent, donc je
vais dériver chaque membre de l'égalité $\exp(\ln x)=x$.

J'obtiens $\ln'x\times\exp(\ln x)=1$ et donc $\ln'x=1/x$...Bingo !
Le lien est fait : ln est une primitive de la fonction inverse.

\pro Pas si vite mon petit Téhessix. Nous avions considéré lors de
notre échauffement LA primitive de la fonction inverse sur
$]0,+\infty[$ \textit{qui s'annule en 1}. Pouvez-vous me confirmer
que $\ln 1=0$~?

\tsx Sur la machine oui, mais je ne vois pas comment calculer une
valeur particulière d'une fonction dont on ne connait rien.

\pro Ou plutôt pas grand chose, mais c'est suffisant. Utilisez la
seule relation que vous connaissiez en introduisant 1.

\tsx Si vous le dîtes. Alors $\exp(\ln 1)=1$...

\pro Donc $\exp(\ln 1)=\exp(0)$, or la fonction exponentielle est
une bijection car elle est continue et strictement croissante.

\tsx Bijection, qu'est-ce que ça veut dire ?

\pro Ça veut  dire en particulier que $f(x)=f(y)\ssi x=y$, donc
ici $\exp(\ln 1)=\exp(0)\ssi \ln 1=0$.

\tsx Cette fois-ci on peut relier la fonction ln à la fonction
inverse et à l'équation fonctionnelle. J'ose même vous devancer en
énonçant les propriétés.



\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[sens de variation]
   La fonction ln est dérivable sur
$]0,+\infty[$ et $\ln'(x)=1/x$ pour tout $x\in]0,+\infty[$. \\ On
en déduit que la fonction ln est strictement croissante sur
$]0,+\infty[$.
    \end{Propriete}
  \end{figure}



\bigskip


\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[relation fondamentale]
    Pour tout $a>0$ et tout $b>0$, on a
$$\ln ab = \ln a+\ln b$$
De plus $$\ln1=0$$
    \end{Propriete}
  \end{figure}


\sm

\pro Cette dernière propriété va vous permettre, pendant vos temps
libres, de mettre en évidence quelques autres résultats bien
pratiques~:


\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[propriétés algébriques]
    $$\ln (1/a)=-\ln a \qquad
\quad\ln(a/b)=\ln a-\ln b\qquad \quad\ln a^p=p\ln a\quad
\text{avec } p\in\bq$$
    \end{Propriete}
  \end{figure}



Occupons-nous maintenant des propriétés analytiques du logarithme,
en particulier, allons voir ce qui se passe à l'infini.

\sm

Mais nous avons beaucoup réfléchi, alors je vous propose un petit
jeu sous forme d'énigme pour nous détendre : un cloporte se
promène sur le graphe de la fonction ln tracé dans un repère
orthonormé d'unité le centimètre. Combien de temps mettra-t-il
pour atteindre une hauteur de 30 cm sachant que sa vitesse est de
$1cm.s^{-1}$ ?

\MATA{ Voilà un gars qui sait s'amuser ! \textbf{tout haut :}
euh...quel jeu distrayant, maître ! Voyons, le problème revient à
résoudre l'équation $\ln x=30$, c'est à dire $x=e^{30}$, ce qui
donne environ 107 millions de kilomètres. Il lui faudra donc à peu
près 3386 siècles sans compter ses pauses-jeu.}

\pro Ah, ah, ah, cette blague me fera toujours rire.

\MATA{Pauvre homme...}

\pro Bon, fini de rire. Vous vous rendez compte que la fonction ln
n'est pas bien vaillante.

\tsx En fait, je l'imagine mal monter vers l'infini et au-delà.

\pro Résumons-nous : nous savons que ln est strictement
croissante, donc que peut-on dire de son comportement
asymptotique, c'est à dire à l'infini ?

\tsx Vous m'avez déjà mis en garde à ce sujet : si ln est bornée,
alors elle admet une limite finie, sinon elle tend vers $+\infty$.
Le problème revient donc à savoir si ln est bornée sur
$]0,+\infty[$.

\pro Nous allons raisonner par l'absurde. Supposons qu'il existe
un réel $A>0$ tel que $\ln x<A$ pour tout $x\in]0,+\infty[$. Cela
voudrait dire que $x<e^A$ pour tout $x>0$ ce qui est pour le moins
absurde ! Il suffit de choisir $x=e^A+32$.

Ainsi ln n'est pas bornée et donc

\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[limite à l'infini]
     $$\Lim{+\infty}\ln x=+\infty$$
    \end{Propriete}
  \end{figure}

\sm

Occupons-nous maintenant de ce qui se passe du côté de l'autre
borne de l'ensemble de définition, au voisinage de zéro. Il n'y a
pratiquement rien à faire connaissant les propriétés algébriques
de ln et en vous inspirant de ce que nous avions fait pour déduire
la limite en $-\infty$ de exp connaissant sa limite en $+\infty$.

\tsx Ben si $x$ tend vers 0, alors $1/x$ tend vers $+\infty$ et
$\ln(1/x)=-\ln x$. En fait, si on remet tout dans l'ordre
$$\left.\begin{array}{l}\Lim{0}1/x=+\infty\\
\ds\lim_{X\to+\infty}\ln
X=+\infty\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\Lim{0}\ln(1/x)=+\infty$$

Or $\ln(1/x)=-\ln x$, donc finalement


\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[limite en zéro]
    $$\Lim{0}\ln x=-\infty$$
    \end{Propriete}
  \end{figure}

\pro Très bien. Il ne reste plus qu'à régler un dernier détail :
ln croît vers $+\infty$, certes, mais très, très lentement. À
votre avis, que se passe-t-il au voisinage de $+\infty$ pour
$\fr{\ln x}{x}$ ?

\tsx La fonction ln ne va pas peser grand chose face aux fonctions
monômes : le rapport va sûrement tendre vers zéro.

\pro Votre intuition est bonne. Il suffit en fait d'étudier la
fonction $\f\ :\ x\mapsto \ln x-\sqrt{x}$ pour conclure que



\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[croissance comparée]
    $$\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x}=0$$
    \end{Propriete}
  \end{figure}


\tsx Vous parlez de mon intuition, mais un détail me turlupine :
la dérivée de ln tend vers 0 en $+\infty$. J'aurai donc envie de
dire que ln se \og~stabilise~\fg{} à l'infini puisque sa pente tend
vers zéro : elle devrait donc être majorée à linfini, pourtant
nous avons montré qu'elle ne l'était pas.

\pro Encore une fois, vous m'impressionez \mat. En effet, nous
aurions tendance à penser qu'une fonction $f$ vérifiant
$\Lim{+\infty}f'(x)=0$ admette une asymptote horizontale.
Malheureusement, les outils permettant de vous prouver que ce
n'est pas toujours vrai ne sont plus au programme de Terminale,
donc patience... Néanmoins, retenez que des conjectures qui
paraissent évidentes peuvent s'avérer fausses lorsqu'on se trouve
trop près de l'infini.

\tsx Après ces paroles, mon cours de philo va me paraître bien
fade...





\section{Construction du graphe avec la méthode d'Euler}


Construisons une approximation du graphe de ln sachant que la dérivée de
ln
est la fonction inverse et que $\ln 1=0$


Rappelons brièvement le principe de la méthode.


On utilise le fait que $\frac{1}{x}=f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Alors

\[f(x+h)\approx h\cdot \frac{1}{x}+f(x) \]

La traduction algorithmique est alors directe.


\begin{lstlisting}
EulerLn(x,y,xlimite,h,liste_points):={
if(h>=0)then{condition:=x>=xlimite}else{condition:=x<=xlimite}
if(condition)
   then{liste_points}
   else{ EulerLn(x+h,y+h/x,xlimite,h,[op(liste_points),[x,y]])}
}:;
\end{lstlisting}



Puis pour le tracé~:

\begin{lstlisting}
trace_EulerLn(xo,yo,xlimite,h):={
polygonplot([EulerLn(xo,yo,xlimite,h,[])])
}:;
\end{lstlisting}



Ce qui donne pour le tracé sur $[0,01\,;\,10]$~:

\begin{lstlisting}[caption={}]
trace_EulerLn(1,0,10,0.01),trace_EulerLn(1,0,0.01,-0.01)
\end{lstlisting}



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{lneuler}
\end{center}
\end{figure}


\section{Exercices
sur la définition des logarithmes}

\exot{} Oublions tout ce que nous savons sur la fonction ln. Appelons $L$ la primitive sur $]0,+\infty[$ de la fonction $x\mapsto 1/x$
qui prend la valeur 0 en 1. Notre but est de démontrer que $L$ vérifie l'équation fonctionnelle de John.

Pour cela nous allons introduire un réel $a>0$ et la fonction
$f~:\ x\mapsto L(ax)$ définie sur $]0,+\infty[$ \been
\item Montrez que $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et calculez
$f'(x)$ en fonction de $x$.
\item Déduisez zan qu'il existe un réel $k$ tel que pour tout
$x>0$, $f(x)=L(x)+k$.
\item Montrez finalement que pour tout $x>0$, $L(ax)=L(a)+L(x)$.
\een

\exot{Le problème de John}

Nous allons rechercher les fonctions $f$ telles que 
\begin{itemize}
\item $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$
\item $f'(1)=1$
\item pour tous réels $a>0$ et $b>0$, $f(ab)=f(a)+f(b)$
\end{itemize}

\been
\item Calculez $f(1)$.
\item Soit $a>0$ un réel fixé. On définit sur $]0,+\infty[$ la
fonction $$ g_a~:\ x\mapsto g_a(x)=f(ax)-f(x)$$ Montrez que $g_a$
est constante.
\item Montrez que $g_a$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et
calculez $g_a'(x)$.
\item Il ne vous reste plus qu'à remarquer que
$g_a'(1)=af'(a)-f'(1)$ pour en déduire que $f$ est la primitive de
$x\mapsto 1/x$ sur $]0,+\infty[$ qui s'annule en 1. \een

\exot{} En utilisant uniquement les résultats $\ln2\simeq0,693$ et $\ln5\simeq1,610$, donnez une valeur approchée de \been
\item $\ln 2,5$
\item $\ln 125$
\item $\ln 0,2$ 
\item $\ln \fr{225}{8}$
\item $4\times 5$ sachant que vous ne savez plus vos tables de
multiplications.
 \een

 

\section{Croissances comparées}

\exot{Logarithme et puissance} Soit $\al\in\bbn\setminus\{0\}$ et $x\in]0,+\infty[$. On pose $f(x)=\fr{\ln x}{x^{\al}}$.\been\item \been
\item En posant $X=x^{\al}$, montrez que $f(x)=\fr{1}{\al}\fr{\ln X}{X}$.
\item Déduisez-en que $\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x^{\al}}=0$.\een
\item Soit $g(x)=x^{\al}\ln x$\been
\item En posant $X=1/x$, exprimez $g(x)$ en fonction de $X$ et $\al$.
\item Qu'en déduisez-vous d'intéressant~?
\een\een

\exot{Exponentielle et puissance} On pose $\f(x)=e^x/x^{\al}$.\been
\item\been
\item Montrez que $\f(x)=e^{x\pa{1-\al\frac{\ln x}{x}}}$
\item Déduisez-en $\Lim{+\infty}\f(x)$
\een
\item On pose $\psi(x)=x^{\al}e^{-x}$ \been
\item Démontrez que $\psi(x)=e^{-x\pa{1-\al\frac{\ln x}{x}}}$
\item Qu'en déduisez-vous d'intéressant~?
\een \een


\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[croissances comparées (suite)]
    Pour tout entier naturel $n$ non nul $$\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x^n}=0\quad \Lim{+\infty} \fr{e^x}{x^n}=+\infty\quad
\Lim{0}x^n\ln x=0\quad \Lim{-\infty}x^ne^x=0$$
    \end{Propriete}
  \end{figure}


\section{Puissance réelle d'un réel}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[puissance réelle]
    Pour tout réel $a>0$ et pour tout réel $b$, on pose $a^b=e^{b\ln a}$
    \end{Definition}
  \end{figure}


\exot{} \'Etudiez les fonctions $f_{\al}~:~x\mapsto x^{\al}$

\exot{} \'Etudiez la fonction $\f~:~x\mapsto 2^x$.

\exot{} Soient $\al$ et $\beta$ deux réels. \'Etudiez $\lin\fr{n^{\al}}{1+n^{\beta}}$.

\jok{Discutez selon le signe de $\beta$, puis selon celui de $\al$}






 




\section{Exercices divers}

\exot{Bac avec ROC}

Le but de l'exercice est de démontrer le résultat de cours suivant~:

$$\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x}=0$$

On rappelle la définition et le théorème suivants :



{\bf Définition~:} {\itshape Soit f une fonction définie sur l'intervalle $[A,+\infty[$, où A est un réel positif, et soit L un nombre réel.\\ Dire
que la fonction f a pour limite L en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les nombres f(x) pour x
assez grand } 



{\bfseries Théorème~:} {\itshape Soit L un nombre réel, f, g et h des fonctions définies sur l'intervalle $[A,+\infty[$, où A est un réel positif. Si f, g
et h vérifient les conditions suivantes : \begin{itemize}
\item Pour tout x appartenant à $[A,+\infty[$, g(x)$\ie f(x)\ie h(x)$;
\item Les fonctions f et h ont pour limite L en $+\infty$
\end{itemize}
alors la fonction f a pour limite L en $+\infty$}


\been
\item \textbf{Démonstration de cours :} en utilisant la définition précédente, démontrer le théorème énoncé ci-dessus.
\item \textbf{Application :} après avoir étudié la fonction $x\mapsto \sqrt{x}-\ln x$, démontrez le résultat anoncé en préambule.
\een

\exot{Bac}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x+ \ln x.\]

On nomme $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \oij~ du plan.

\begin{enumerate}\item	\begin{enumerate}\item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son intervalle de définition.

\item Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle \\$]0~;~+ \infty[$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, l'équation $f(x) = n$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$.

On note $\alpha_{n}$ cette solution. On a donc : pour tout entier naturel \\$n,~ \alpha_{n} + \ln \alpha_{n} =  n$.

\item Sur la page annexe, on a tracé $\Gamma$ dans le repère \oij.

Placer les nombres $\alpha_{0},~ \alpha_{1},~ \alpha_{2},~ \alpha_{3},~ \alpha_{4}$ et $\alpha_{5}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction. 

\item Préciser la valeur de $\alpha_{1}$. 

\item Démontrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ est strictement croissante. 

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$  à la courbe $\Gamma$ au point A d'abscisse 1. 

\item Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = \ln x - x + 1.\]

 En déduire la position de la courbe $\Gamma$ par rapport à $\Delta$. 

\item Tracer $\Delta$ sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,~$\dfrac{n + 1}{2}  \leqslant \alpha_{n}$. 

\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.

\end{enumerate}


\begin{center}\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(11,14)
\psaxes{->}(0,0)(0,-3)(11,14)
\psplot[plotpoints=500]{0.048}{11}{x ln x add}
\end{pspicture}
\end{center}


\exot{Bac}


\noindent \textbf{I. Première partie}

 On appelle $f$ et $g$ les deux fonctions d\'efinies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x) = \ln(1 +x) - x\quad \text{et} \quad  g(x) = \ln (1+x) - x + \dfrac{x^2}{2}.\]
 
\begin{enumerate}\item Étudier les variations de $f$et de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.

\item En déduire que pour tout $x \geqslant 0,~ x - \dfrac{x^2}{2} \leqslant \ln (1 + x) \leqslant x$.

\end{enumerate}

\noindent \textbf{II. Deuxième partie}

 On se propose d'étudier la suite $\left(u_{n}\right)$ de nombres réels définie par :
 
\[u_{1}  = \dfrac{3}{2}\quad \text{et} \quad 	u_{n+1} = u_{n}\left(1 + \dfrac{1}{2^{n+1}}\right).\]

\begin{enumerate}\item Montrer par récurrence que $u_{n} > 0$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$. 

\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\[\ln u_{n} = \ln \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^2}\right) + \cdots +  \ln \left(1 + \dfrac{1}{2^n}\right).\]

\item On pose $S_{n}	 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}$ et $T_{n} =  \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^3}+\cdots +\dfrac{1}{4^n}.$

À l'aide  de la premi\`ere partie, montrer que :

\[S_{n} - \dfrac{1}{2}T_{n} \leqslant \ln u_{n} \leqslant S_{n}.\]

\item Caiculer $S_{n}$ et $T_{n}$ en fonction de $n$. En déduire  $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  S_{n}$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}  T_{n}$.

\item Étude de la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\begin{enumerate}\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est strictement croissante.

\item En déduire que $\left(u_{n}\right)$ est convergente. Soit $\ell$ sa limite.

\item On admet le résultat suivant : si deux suites $\left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ sont convergentes et telles  que $v_{n} \leqslant w_{n}$  pour tout $n$ entier naturel, alors \\$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_{n} \leqslant \displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_{n}$.

Montrer alors que $\dfrac{5}{6} \leqslant \ln \ell \leqslant 1$ et en déduire, un encadrement de $\ell$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\exot{} Soit $n\in\bbn^*$. Montrez que le nombre de chiffres dans l'\'ecriture d\'ecimale de $n$ est \mbox{$1+E(\log n)$}
 o\`u log repr\'esente le logarithme d\'ecimal et
 $E(x)$ la partie entière d'un réel $x$.
\jok{Encadrez n par deux puissances successives de 10}


\exot{} Résolvez dans $]0,+\infty[$ l'équation $\ \ds x^{\left(x^x\right)}=\left(x^x\right)^x$.

\exot{} \'Etudiez et représentez graphiquement la fonction $x\mapsto\ln\bigl(\ln^2(x^2)\bigr)$.

 Vous éviterez un gros calcul de
dérivée.

\exot{}

Calculez les dérivées des fonctions définies par 
\begin{nliste}{3}
\item  $a(x)=\ln(\ln x)$  \item $b(x)=\ln(\ln(\ln(\ln x)))$ \item $c(x)=\ln\pa{\fr{1+x}{1-x}}$
\end{nliste}

\exot{} \'Etudier les limites quand $x$ tend vers $+\infty$ de
$$\quad
a)\ f_1(x)=x^{1/x}\  b)\ f_2(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \ c)\ f_3(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{1/x}\  d)\ f_4(x)=\frac{x^{\ln
x}}{(\ln x)^x}.$$

\jok{Pour b) posez t=1/x; pour c), décomposez l'exposant de e à l'aide d'expressions du type $\ln t/t$}


\exot{} \'Etudier les limites quand $x$ tend vers $0^+$ de
$$a)\ g_1(x)=x^x\qquad
b)\ g_2(x)=(x^x)^x\qquad c)\ g_3(x)=x^{(x^x)}$$ $$ d)\ g_4(x)=\left(-\ln x\right)^{x}\qquad e)\ g_5(x)=x^2e^{1/x}.$$

\jok{d) posez $t=-\ln x$; e) t=1/x}



\exot{}

On pose $f(x)=\ln\pa{\sqrt{1+x^2}}$ \been
\item Déterminez l'ensemble de définition de $f$ et étudiez sa parité.
\item Calculez $\Lim{+\infty} f(x)-\ln x$
\item \'Etudiez les variations de $f$ et tracez sa courbe représentative dans un bon repère.
\een

\exot{}

Soit $\f~:~u\mapsto u\ln u$. Cette fonction est-elle prolongeable par continuité en 0~? La fonction $\tilde{\f}$ ainsi prolongée est-elle
dérivable en 0~? \'Etudiez $\tilde{\f}$ et tracez sa représentation graphique.

\exot{Logarithme complexe}

Soit $z$ appartenant à $\bbc\setminus\bbr^{-}$. On définit une fonction $\Loc$ qu'on appelle logarithme complexe par
$$\Loc(z)=\ln|z|+i\arg(z)$$

Montrez que la fonction Loc vérifie les mêmes propriétés algébriques que la fonction ln. Montrez qu'elle admet une fonction réciproque
que vous déterminerez.

\exot{} Calculez $\Lim{1}\fr{\ln(x^2/2+1/2)}{x-1}$






\section{Retour sur les primitives}

Complétez le tableau suivant

\sm

%\begin{tabular}{|m{3cm}||m{3cm}|m{3cm}|m{3cm}|m{3cm}|}
\begin{tabularx}{0.9\textwidth}{Y{3}}
\whline $f$& Je pose $u=$ & Alors $u'=$ & Forme de $f$ en fonction de $u$ et $u'$ & Une primitive de $f$ est \\
\whline \vtabb$\fr{x+1}{(x^2+2x+2)^3}$& & & & \\
 \hline\vtabb $\fr{\cos(2x)}{\pa{3+\sin(2x)}^3}$& & & &\\
\hline \vtabb$\fr{\pa{\ln x}^2}{x}$& & & & \\
 \hline \vtabb$x\sqrt{x^2-1}$& & & & \\
 \hline\vtabb$16\fr{e^x}{1+2e^x}$ && & & \\
\whline
\end{tabularx}

\pagebreak

\begin{tabularx}{0.9\textwidth}{Y{3}}
\whline $f$& Je pose $u=$ & Alors $u'=$ & Forme de $f$ en fonction de $u$ et $u'$ & Une primitive de $f$ est \\
  \hline \vtabb$\fr{e^{1/x}}{x^2}$ & & & & \\
  \hline \vtabb$\fr{1}{x\ln x}$& & & & \\
 \hline \vtabb$\fr{e^x}{(2+e^x)^3}$& & & & \\
  \hline \vtabb$xe^{-x^2/2}$& & & & \\
\hline \vtabb$\fr{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$& & & & \\  
\hline \vtabb$\cos(x)\sin^5(x)$& & & & \\
\whline
\end{tabularx}



 







 \section{Un beau problème utilisant les primitives}





\normalsize{La partie A }est indépendante de partie B et C.

\bigskip

\subsubsection*{A - Recherche d'une primitive}

\smallskip

Le but de la partie est de trouver une fonction définie et dérivable sur $]-1,1[$ telle que $\bsys f'(x)=\fr{1}{1-x^2}\\f(0)=0\esys$ (1)

\been

\item \textsl{Analyse}~: supposons qu'il existe une telle
fonction.

 \been

\item Montrez que $(1)\ssi (1-x)f'(x)=\fr{1}{1+x}$

\item Déterminez une primitive $F_1$ de la fonction $x\mapsto
\fr{1}{1+x}$ sur $]-1,1[$

\item Montrez que $(1-x)f'(x)=f'(x)+\fr{1}{2}\fr{-2x}{1-x^2}$

\item Déduisez-en une autre primitive $F_2$ de $x\mapsto
(1-x)f'(x)$ sur $]-1,1[$ en fonction de $f$.

\item Déduisez de b) et c) l'expression de $f$ en fonction de $x$.

\een

\item \textsl{Synthèse}~: vérifiez que la solution trouvée
satisfait les conditions.

\een

\subsubsection*{B - \'Etude de la fonction tangente hyperbolique}



Soit $\f~: \ \bbr\to \bbr,\ \ x\mapsto \fr{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

\been

\item Montrez que $\f$ est dérivable et calculez $\f'$.
Déduisez-en le sens de variation de $\f$.

\item \'Etudiez limites et asymptotes aux bornes de l'ensemble de
définition.

\item Dressez le tableau de variation de $\f$.

\item Vérifiez que $\f'=1-\f^2$.

\item Déterminez une équation de la tangente à $\CR_{\f}$ au point
d'abscisse 0.

\item Montrez que $\f(a+b)=\fr{\f(a)+\f(b)}{1+\f(a).\f(b)}$.

\item Tracé de $\CR_{\f}$, des asymptotes et de la tangente dans
le repère qui va bien.

\een

\subsubsection*{C - Fonction argument tangente hyperbolique}


\been

\item \textsl{Définition de la fonction}

\been

\item Montrez que $\f(x)=t$ admet une unique solution pour tout
$t\in]-1,1[$.

\item Montrez que $x=\fr{1}{2}\ln\fr{1+t}{1-t}$

\een

\item \textsl{\'Etude de la fonction}

On pose $g~:\ ]-1,1[\to \bbr,\ \ x\mapsto \fr{1}{2}\ln\fr{1+x}{1-x}$

\been \item Montrez que $g$ est dérivable et calculez $g'(x)$.

\item Déduisez-en les variations de $g$.

\item Déterminez une équation de la tangente à $\CR_g$ au point
d'affixe 0.

\item Déterminez limites et asymptotes aux bornes de l'ensemble de
définition de $g$.

\item Dressez le tableau de variation de $g$.

\item Tracez $\CR_g$, les asymptotes et la tangentes sur le même
graphique qu'à la question B)7).

\een
%
%\item \textsl{Pour le fun}
%
%\been \item Résolvez sur $\bbr$
%$\f\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)>0$ à l'aide de
%B)3).
%
%\item Montrez que
%$\f\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)=\fr{x}{\sqrt{x^2+1}}$
%et retrouvez le résultat de C)3)b).
%
%\een
\een








\section{\'Echelles semi-logarithmiques}

\exot{Un petit préambule : logarithme décimal}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[logarithme décimal]
    La fonction $\log\ :\ x\mapsto \fr{\ln x}{\ln 10}$ définie pour $x>0$ est appelée \textbf{fonction logarithme décimal}
    \end{Definition}
  \end{figure}


\'Etudiez brièvement cette fonction et mettez en évidence ses principales propriétés algébriques.

\sm

On considère un repère où l'axe des abscisses est gradué comme d'habitude et où l'axe des ordonnées est gradué en échelle logarithmique,
c'est à dire qu'une unité étant choisie, la $k-ième$ unité correspond à une ordonnée de $10^k$.

Représentez dans un tel repère les fonctions suivantes : \been
\item $f_1~:~x\mapsto 10^x$
\item $f_2~:~x\mapsto 32\times 10^x$
\item $f_3~:~x\mapsto 0,32\times 10^x$
\item $f_4~:~x\mapsto e^x$
\item $f_5~:~x\mapsto e^{-32x}$

\een









\exot{Décibels}

\subsubsection*{Définition}

Si G est une grandeur et $G'$ une nouvelle grandeur, les nombres $G'-G$ ou $\ofr{G'}{G}$ ou
$\ofr{G'-G}{G}$ peuvent
être trop grands  ou trop petits pour  être interprétés. On utilise alors  une échelle logarithmique
(de   base   10).   En   supposant   $G$   et  $G'$   strictement   positifs,   on   calcule   ainsi
$\log_{10}\frac{G'}{G}$  et le  résultat est  exprimé en  \textbf{Bel}. On  utilise  plus couramment
$10\log_{10}\frac{G'}{G}$  qui est  exprimé en  \textbf{décibel}  si G  et $G'$  sont des  grandeurs
utilisées  en  acoustique, électronique,  télécommunications  (Bel  vient  de Graham  \textsc{Bell},
l'inventeur du téléphone). 

Si $\log_{10}\frac{G'}{G}$ est positif, on parle de gain et sinon d'atténuation ou de perte.


\smallskip

\subsubsection*{Attention aux vendeurs de lave-vaisselle ou d'aéroports~!}

Soit $P_0$ la puissance fournie à l'entrée d'un appareillage et $P_1$ la puissance de sortie.

\begin{enumerate}
\item  On vous dit  que l'atténuation  de la  puissance est  de 3  dB. Que  peut-on en  déduire pour
  $\ofr{P_1}{P_0}$~?


\item Que dire du gain en décibels si $\ofr{P_1}{P_0}=10$~? $=100$~? $=200$~?
\end{enumerate}












\exot{Un peu de chimie : $pH$ et $pK_A$}

Dans l'eau de Javel, il y a de l'acide hypochloreux $HC\ell O$ associé à sa base, l'ion hypochlorite $C\ell O^-$ : je ne vous apprends
rien. Je vous rappelle, mais vous connaissez ça par c\oe ur que $pH$ et $pK_A$ sont liés par la relation

$$pH=pK_A+\log_{10}\fr{\cro{\text{Base}}}{\cro{\text{Acide}}}$$

\'Etudiez la fonction $\al$ qui au $pH$ associe le rapport $\fr{\cro{\text{Base}}}{\cro{\text{Acide}}}$ ainsi que la fonction $\beta$ qui
au $pH$ associe le rapport $\fr{\cro{\text{Acide}}}{\cro{\text{Base}}}$ sachant que le $pK_A$ de notre couple vaut 7,3.

Tracez les représentations de ces deux fonctions sur un même graphique et interprétez chimiquement.





\exot{Fonctions de transfert en électronique}

Un circuit peut être caractérisé par sa fonction de transfert $T$ dépendant de la pulsation $\omega$ de la tension sinusoïdale.

On s'intéresse souvent à la courbe de gain associée représentant la fonction $$G~:~\o\mapsto 20\log|T(\o)|$$ où le gain $G$ est exprimé
en décibels.

Par commodité, l'axe des ordonnées est gradué en échelle décimale, et l'axe des abscisses $\o$ est gradué en échelle log.

\been
\item \textbf{Un exemple} Représentons la courbe de gain de la fonction $$T_1~:~\o\mapsto j\fr{\o}{\o_0}$$
Tout d'abord, rappelez-vous qu'en électronique, $j$ représente le nombre de carré $-1$.

$G_1(\o)=20\log\ab{T_1(\o)}=20\log\o-20\log\o_0$. L'axe des abscisses étant gradué en échelle log, on pose $x=\log\o$, alors le gain est
représenté par la courbe d'équation $$y=20x-20\log\o_0$$ qui est donc une droite qu'on notera dans la suite du problème $(\DR)$ . On dit
que sa pente est de 20 décibels par décade.

Pour la tracer, on peut déterminer les coordonnées de deux points : \begin{itemize}
\item pour $\o=\o_0$, $G_1(\o)=20\log1=0$
\item pour $\o=10\o_0$, $G_1(\o)=20\log10=20$
\end{itemize}

\item On va s'intéresser maintenant à la fonction $$T_2~:~\o \mapsto 1+j\fr{\o}{\o_0}$$

\been
\item Regardez ce qui se passe au voisinage de 0, c'est à dire étudiez la limite de $G_2$ lorsque $\o$ tend vers 0 et interprétez
graphiquement.
\item Que sentez-vous au voisinage de $+\infty$~? Montrez que $(\DR)$ est asymptote à la courbe représentative de $G_2$ au voisinage de
$+\infty$. \een

\item Essayez de vous débrouillez avec $$T_3~:~\o \mapsto \fr{1}{1+j\fr{\o}{\o_0}}$$
(ya une ruse...)

\een


\exot{\'Etude du pont de Wien}

Il s'agit d'un circuit obtenu en plaçant en séries deux filtres $F_1$ et $F_2$, $F_1$ étant un filtre $R$-$C$ série et $F_2$ un filtre
$R$-$C$ en parallèle. Les deux resistances sont identiques et les deux condensateurs aussi. L'entrée est une tension $e(t)$ de pulsation
$\o$, la sortie étudiée est la tension aux bornes de la résistance placée dans le filtre $F_2$.

Dans tout le problème, on posa $\tau=RC$ et la fonction de transfert est notée $T(j\o)$, avec $j^2=-1$.

Vous verrez peut-être un jour que la notion de pont diviseur permet d'obtenir que $$T(j\o)=\fr{j\o\tau}{j^2\tau^2\o^2+3j\o\tau+1}$$

\been
\item Commencez par faire le schéma du circuit pour faire savant.
\item On pose à présent $x=\o\tau$\been
\item Montrez que $$\ab{T(j\o)}=\fr{x}{\sqrt{x^4+7x^2+1}}$$
On posera par la suite, pour simplifiez encore nos notations (qui deviennent aussi nombreuses que les personnages dans un roman russe)
$$f(x)=\fr{x}{\sqrt{x^4+7x^2+1}}$$
\item Calculez et écrivez sous la forme la plus simple possible la dérivée de $f$ par rapport à $x$.
\een
\item La fonction de gain normalisée est définie par $$G(x)=20\log\ab{f(x)}$$
On désigne par $S$ la courbe associée à $G$ dans un repère semi-log, $x$ étant porté sur l'échelle logarithmique.

\been
\item Montrez que $G(1/x)=G(x)$. Comment sont représentés l'un par rapport à l'autre les points images de $x$ et $1/x$ sur l'échelle
logarithmique~? Déduisez-en une propriété géométrique de $S$.
\item Calculez $\Lim{+\infty} G(x)+20\log(x)$. Interprétez ce résultat.
\item Construisez $S$.
\een\een


\exot{Musique, complexes et logarithmes}

On définit le logarithme de base 2 d'un réel strictement positif par $\log_2(x)=\fr{\ln(x)}{\ln(2)}$. Dans la suite du problème, $E(x)$
désigne la partie entière de $x$.

\subsubsection*{Préliminaire}

\been
\item \'Etudiez les variations de la fonction $\log_2$.
\item Calculez $\log_2(32)$. Que dire de $\log_2(x)$ si  le réel $x$ est compris entre $2^n$ et $2^{n+1}$~?
\item On suppose que $E(x)=n$. Calculez $E(x+1)$ en fonction de $n$.
\een

\subsubsection*{La la la la }\label{log2}

La fréquence rapportée de la fréquence $f$ à l'intervalle $[1,2[$ est le nombre $r(f)$ défini de la façon suivante : soit $p$ un entier
tel que $2^p\ie f$ et $f<2^{p+1}$, le nombre $f$ appartenant à $[1,+\infty[$; alors $r(f)=2^{-p}f$.

\been
\item Montrez que $r(f)=2^{-E\pa{\log_2(f)}} f$
\item On dit qu'une fonction $\f$ est multiplicativement périodique de période $T$ ($T>0$) si, pour tout réel $t$, on a $\f(Tt)=\f(t)$.

Montrez que la fonction $r$ est multiplicativement périodique de période 2.

On suppose que $r(f_1)=r(f_2)$ : peut-on en déduire qu'il existe un entier relatif $p$ tel que $f_1=2^pf_2$~?

Quelle est la fréquence rapportée de $f=203$~?

\item À la fréquence $f$ on associe le point $M$ du plan complexe d'affixe $z(f)=f e^{2i\pi\log_2(f)}$.

On dit que deux sons de fréquences $f_1$ et $f_2$ déterminent la même note si et seulement si $z(f_1)$ et $z(f_2)$ ont le même argument.

Montrez alors que $r(f_1)=r(f_2)$. la réciproque est-elle vraie~?

\item On considère un LA à la fréquence $f_0=440$. On note $\zeta=2^{1/12}$. On définit la suite des demi-tons montant du LA 440 de la
façon suivante $$f_0=440\qquad f_{n+1}=\zeta f_n$$

Que pouvez-vous dire de cette suite~?

\'Etablissez que $f_{n+12}=2f_n$ et interprétez physiquement cette relation.

La suite des notes, à partir du LA 440, obtenu par demi-tons montant est LA$\#$, SI, DO, DO$\#$, R\'E, R\'E$\#$, MI, FA, FA$\#$, SOL,
SOL$\#$, LA, ...

À quelle note correspond un son de fréquence $f=18\,794$~?

\een

\section{Exercices de Bac}


\exot{Bac}


Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs tels que $a <b$.\\
On désigne par A et par B les points d'abscisses respectives $a$ et $b$ de la courbe $\Gamma$ représentative de la
fonction logarithme népérien dans un repère orthononnal \oij.\\
 Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Donner l'équation réduite de la tangente (T) au point A à la courbe $\Gamma$.
\item  Déterminer l'ordonnée du point d'intersection P de (T) avec l'axe des ordonnées.\\
Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de (T) ;  la réaliser sur la figure
en annexe).
 \end{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances}\\
On suppose connue la propriété :\\
 \og  Pour tout couple $(x~;~ y)$ de nombres réels strictement positifs, on a \\$\ln (xy) = \ln (x)+ \ln (y)$. \fg\\
En déduire que, pour tout nombre réel $m$ strictement positif, on a \\$\ln \left(\sqrt{m}\right) = \dfrac{1}{2}\ln(m)$.
\item  Utiliser le résultat de la question 2 pour placer sur l'axe des abscisses le point G d'abscisse $\sqrt{ab}$. Expliquer la construction et la réaliser sur la figure de l'annexe 1 (on laissera les traits de construction apparents).
\end{enumerate}
 



\exot{Bac}

On d\'esigne par $a$ un r\'eel strictement positif et diff\'erent de 1.\\
On se propose de rechercher, dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, les solutions de l'\'equation \[E_{a} : ~x^a =  a^x.\]\\
\noindent \textbf{I  \'Etude de quelques cas particuliers}\\
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que les nombres $2$ et $4$ sont solutions de l'\'equation $E_{2}$..
\item  V\'erifier que le nombre $a$ est toujours solution de l'\'equation $E_{a}$.
\item  On se propose de d\'emontrer que e est la seule solution de l'\'equation $E_{\text{e}}$.\\
On note $h$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $h(x) = x - \text{e}\ln x$.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Question de cours :}
On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, alors	$\dfrac{\text{e}^t}{t}$ tend vers $+\infty$.\\
D\'emontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
\item  D\'eterminer les limites de $h$ en $0$ et $+ \infty$.
\item 	Etudier les variations de $h$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item 	Dresser le tableau des variations de $h$ et conclure quant aux solutions de l'\'equation $E_{\text{e}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\noindent \textbf{II R\'esolution de l'\'equation} \boldmath$E_{a}$ \unboldmath\\ 
\begin{enumerate}
\item  Soit $x$ un r\'eel strictement positif. Montrer que $x$ est solution de l'\'equation $E_{a}$ si et seulement si $x$ est solution de l'\'equation : $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln a}{a}$.
\item On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$  par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les limites de $f$ en $0$ et $+\infty$. Donner une interpr\'etation graphique de ces deux limites.
\item \"Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
\item 	Tracer la courbe $\mathcal{C}$ repr\'esentative de la fonction $f$ dans un rep\`ere orthonormal \oij. (Unit\'e : 2~cm).
\end{enumerate}
\item Justifier \`a l'aide des r\'esultats pr\'ec\'edents le spropositions $(P_{1})$ et $(P_{2})$ suivantes :
\begin{itemize}
\item[~]  $(P_{1})$ : si $a \in ]0~;~1]$, alors $E_{a}$ admet l'unique solution $a$ ;
\item[~]  $(P_{2})$ : si $a \in ]1~;~\text{e}[~ \cup~ ]\text{e}~; ~+ \infty[$, alors $E_{a}$ admet deux solutions $a$ et $b$, l'une appartenant \`a l'intervalle $]1~;~\text{e}[$ et l'autre appartenant \`a l'intervalle $]\text{e}~; ~+ \infty[$.
\end{itemize}
\end{enumerate}










\exot{Bac}

On consid\`ere la fonction $f$ d\'efinie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par :
\[f (x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\]
La courbe $\mathcal{C}$ repr\'esentative de $f$ est donn\'ee sur le document annexe 2 que l'on compl\'etera et que l'on rendra avec la copie.

\medskip

\noindent \textbf{Partie A : \'Etude de certaines propri\'et\'es de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}$\unboldmath
\begin{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction d\'eriv\'ee de $f$. Calculer $f '(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$.
\item  Pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$, on pose $N(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$.\\
V\'erifier que l'on d\'efinit ainsi une fonction strictement croissante sur $]- 1~;~ + \infty[$.\\
Calculer $N(0)$. En d\'eduire les variations de $f$.
\item  Soit $\mathcal{D}$ la droite d'\'equation $y = x$.
Calculer les coordonn\'ees du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
 \end{enumerate}
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie B : Étude d'une suite r\'ecurrente d\'efinie \`a partir de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que si $x \in [0 ~; ~4]$, alors $f(x) \in [0~ ;~ 4]$.
\item  On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par :\\
\[\left\{\begin{array}{l cl}
 u_{0}& =&4 ~\text{et}\\
 u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)~ \text{pour tout}~ n~  \text{de}~ \N.\\
 \end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique de l'annexe 2, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $u_{0}~, u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.
\item D\'emontrer que pour tout $n$ de $\N$ on a :  $u_{n} \in [0~ ;~ 4]$.
\item Étudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item D\'emontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On d\'esigne par $\ell$ sa limite.
\item Utiliser la partie A pour donner la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}

\psset{unit=1.45cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(6,5.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](-2,-1)(6,5)
 \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](6.2,0){$x$} \uput[r](0,5.5){$y$}
\uput[dr](5.4,5){$\mathcal{C}$} \uput[ul](5,5){$\mathcal{D}$}
\psline(-1,-1)(5.5,5.5)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-0.76}{5.7}{x 1 x add ln 1 x add div sub}
\end{pspicture}
\end{center}


\exot{Bac}



\begin{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$ non nul, on consid\`ere la fonction $ f_{n}$ d\'efinie sur $]0~;~+ \infty[$ par :
\[f_{n}(x) = \ln x + \dfrac{x}{n} - 1.\]
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer les limites de $ f_{n}$ en $0$ et en $+\infty$ puis \'etudier le sens de variations de $ f_{n}$.
\item Montrer que l'\'equation $ f_{n}(x) = 0$ admet une unique solution dans $]0~;~+ \infty[$. On note $\alpha_{n}$ cette solution. Montrer qu'elle appartient \`a l'intervalle [1 ; e].
\end{enumerate}
\item Le plan est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal \oij. On note ($\Gamma$) la courbe repr\'esentative de la fonction logarithme n\'ep\'erien.
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. D\'eterminer une \'equation de la droite $\Delta_{n}$ passant par le point A de coordonn\'ees (0 ; 1) et le point $B_{n}$ de coordonn\'ees $(n ~;~0)$.
\item  Faire un croquis repr\'esentant la courbe ($\Gamma$) et les droites $\Delta_{1}, ~\Delta_{2}$ et $\Delta_{3}$.
\item  Montrer que $\alpha_{n}$ est l'abscisse du point d'intersection de ($\Gamma$) avec $\Delta_{n}$. 
\item  Pr\'eciser la valeur de $\alpha_{1}$ puis faire une conjecture sur le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $\ln \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$.
\item Exprimer $f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right)$ en fonction de $n$ et de $\alpha_{n}$ et v\'erifier que : \\
$f_{n+1} \left(\alpha_{n}\right) < 0$.
\item  D\'eduire de la question pr\'ec\'edente le sens de variation de la suite $\left(\alpha_{n}\right)$.
\item Montrer que la suite $\left(\alpha_{n}\right)$ converge. On note $\ell$ sa limite. \'Etablir que : $\ln \ell = 1$ et en d\'eduire la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\pagebreak



\section{Résolution de ces exercices de Bac assistée par XCAS}


\setcounter{num}{27}


\exot{Résolution complète avec XCAS}

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item On commence par créer deux paramètres $a$ et $b$ qu'on fera varier à l'aide de curseurs~:

    \begin{lstlisting}
    assume(a:=[5,0.01,10])// a varie entre 0.01 et 10 et 5 est sa 1ère valeur
    assume(b:=[5,0.01,10])// idem pour b
    \end{lstlisting}

Puis (C), la courbe représentative de la fonction ln~:
\begin{lstlisting}
C:=graphe(ln(x))
\end{lstlisting}

On crée ensuite le point A de la courbe (C) d'abscisse $a$~:

\begin{lstlisting}
A:=point(a,ln(a))
\end{lstlisting}

ainsi que la tangente à (C) en A~:

\begin{lstlisting}
T:=tangente(C,A)
\end{lstlisting}

On note au passage qu'on obtient son équation formelle en fonction de $a$.

\item On crée ensuite les points B, Q et R~:

  \begin{lstlisting}
B:=point(b,ln(b))
Q:=point(0,ln(a))
R:=point(0,ln(b))
  \end{lstlisting}

On crée également le point P, intersection de (T) avec l'axe d'équation $x=0$~:

\begin{lstlisting}
P:=inter_unique(T,droite(x=0))
\end{lstlisting}


On demande son ordonnée, en fonction de $a$~:

\begin{lstlisting}
ordonnee(P)
\end{lstlisting}


On calcule la longueur PQ~:

\begin{lstlisting}
simplifier(longueur(P,Q))
\end{lstlisting}



\end{enumerate}



\item[3.] «~Développons~» l'ordonnée du point G  en fonction de $\ln(a)$ et $\ln(b)$, c'est-à-dire en
  fonction des ordonnées de A et B~:

  \begin{lstlisting}
lnexpand((ln(sqrt(a*b))))
  \end{lstlisting}

G est donc le point de (C) de même ordonnée que le milieu de [PQ] que nous appellerons S~:

\begin{lstlisting}
S:=milieu(Q,R)
d:=droite(y=(ordonnee(S)))
G:=inter_unique(d,C)
\end{lstlisting}

Vérifions que G est bien le point cherché~:

\begin{lstlisting}
abscisse(G)
\end{lstlisting}

qui nous redonne bien $\ln \left(\sqrt{ab}\right)$

\end{enumerate}




















\exot{Résolution guidée}

 On précise que $a$ et $x$ doivent être strictement positifs~:

  \begin{lstlisting}
  assume(a>0) ;assume(x>0)
  \end{lstlisting}

Tant  qu'on y  est, on  demande à  \Prog{XCAS} s'il  connaît une  solution exacte  générale  à notre
problème~:

\begin{lstlisting}
resoudre(a^x=x^a,x)
\end{lstlisting}


Pas de chance\dots

Introduisons donc la fonction dépendant de $x$ et $a$~:

\begin{lstlisting}
E(x,a):=a^x-x^a
\end{lstlisting}


Comment peut-on alors reformuler notre problème en utilisant cette fonction~?

\vspace{0.8cm}

\noindent { \textbf{I \'Etude de quelques cas particuliers}}\\

\begin{enumerate}
\item Utilisez la fonction E précédemment introduite pour répondre à la question.
\item Idem.
  \begin{enumerate}
  \item[b)] On introduit la fonction $h$ de la manière habituelle~:

    \begin{lstlisting}
h(x):=x-e*ln(x)
    \end{lstlisting}

et on demande les limites\dots de la manière habituelle. Par exemple~:


\begin{lstlisting}
limite(h(x),x=0)
\end{lstlisting}



\item[c)] On crée la fonction dérivée de $h$ que nous noterons $h_p$~:

  \begin{lstlisting}
  hp:=fonction_derivee(h):;
  \end{lstlisting}

On factorise pour étudier son signe~:

\begin{lstlisting}
factoriser(hp(x))
\end{lstlisting}

et on résout l'équation $h_p(x)>0$~:

\begin{lstlisting}
resoudre(hp(x)>0,x)
\end{lstlisting}


\item[d)] On en déduit le tableau de variation et on calcule $h(\E)$~:

  \begin{lstlisting}
h(e)
  \end{lstlisting}




  \end{enumerate}


\end{enumerate}

\vspace{0.8cm}

\noindent { \textbf{II R\'esolution de l'\'equation} \boldmath$E_{a}$ \unboldmath}\\ 




\begin{enumerate}
\item[2.]
  \begin{enumerate}
  \item On  définit $f$ et on  calcule ses limites de  la manière habituelle. Attention,  on veut la
    limite à  droite en 0,  donc on  précise 1 en  troisième argument (pour  la limite à  gauche, on
    rentre $-1$)~:

    \begin{lstlisting}
limite(f(x),x=0,1)
    \end{lstlisting}

\item On calcule $f_p(x)$  de la manière habituelle. Attention~! Puisque cette  fois le résultat est
  une fraction, nous n'utiliserons pas \code{simplifier} ni \code{factoriser} mais \code{normal} qui
  est moins puissant mais qui permet de garder un dénominateur factorisé~:

  \begin{lstlisting}
normal(fp(x))
  \end{lstlisting}

On résout ensuite $f_p(x)>0$\dots de la manière habituelle.

\item[d)] Il suffit de rentrer

  \begin{lstlisting}
graphe(f(x),x=0..100)
  \end{lstlisting}

  \end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\exot{Résolution guidée}



\medskip

\noindent  \textbf{Partie  A  :  \'Etude   de  certaines  propri\'et\'es  de  la  courbe}  \boldmath
$\mathcal{C}$\unboldmath


\begin{enumerate}
\item On définit $f$ et sa dérivée $f_p$ comme d'habitude.


\item On reconnaît comme d'habitude dans les exercices de Bac le numérateur de la dérivée de $f$.

  \begin{lstlisting}
N(x):=numer(fp(x))
  \end{lstlisting}

On étudie le signe de sa dérivée comme d'habitude. On calcule $N(0)$.


\item On utilise la commande \code{resoudre} pour obtenir la solution de l'équation $f(x)=x$.



\end{enumerate}

 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie B : Étude d'une suite r\'ecurrente d\'efinie \`a partir de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath


\begin{enumerate}
\item Connaissant le sens de variation de $f$ et connaissant



  \begin{lstlisting}
f(0);f(4);f(4.0)
  \end{lstlisting}

on déduit le résultat en dressant un joli tableau.

\item
  \begin{enumerate}
  \item On rentre~:
    \begin{lstlisting}
graphe_suite(f(x),4,3)
    \end{lstlisting}

puisque $u_0=4$ et qu'on s'arrête à $u_3$.

\item[c)] On étudie le signe de $f(x)-x$~:

  \begin{lstlisting}
resoudre(f(x)-x>0)
  \end{lstlisting}

... et on conclue connaissant le signe de $u_1-u_0$

\begin{lstlisting}
f(4.0)-4
\end{lstlisting}


Ou on peut être plus courageux et déterminer une procédure calculant $u_n$ pour tout entier $n$~:

\begin{lstlisting}
u(n):={
si n==0 alors 4.0 sinon
f(u(n-1));
fsi;
}:;
\end{lstlisting}




  \end{enumerate}


\end{enumerate}





\exot{Et un dernier pour la route}

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item On définit une fonction $f$ dépendant de $n$ et $x$, en précisant que $n$ est un entier naturel~:
    \begin{lstlisting}
assume(n,integer) and assume(n>0)
f(n,x):=ln(x)+x/n-1
    \end{lstlisting}

Puis on calcule les limites comme d'habitude.

Pour la dérivée, on peut essayer une variante pour changer en calculant l'expression de $f'_n(x)$~:

\begin{lstlisting}
deriver(f(n,x))
\end{lstlisting}

dont le signe est sans mystère.



  \end{enumerate}


\item[2. et 3.]

On crée une procédure qui fait tout~!

\begin{lstlisting}
alpha(N):={
local f;
A:=point(0,1);
B:=point(N,0);
Delta:=droite(A,B);
Gamma:=graphe(ln(x),couleur=rouge);
f(x):=ln(x)+x/N-1;
a:=fsolve(f(x)=0,x,N); // a est donc alpha_n
D:=couleur(droite(x=a),bleu); // pour vérifier que  les alpha_n coïncident
print("alpha("+N+")="+a);
A,B,Delta,Gamma,D;
}:;
\end{lstlisting}
 

On crée ensuite un paramètre $n$ qu'on fera varier au curseur~:

\begin{lstlisting}
k:=element(1 .. 100)
\end{lstlisting}

Mais pour être sûr d'avoir un entier, on prend sa partie entière en utilisant \code{floor}~:

\begin{lstlisting}
K:=floor(k)
\end{lstlisting}



Ensuite on demande $\alpha_K$ en faisant varier K~:

\begin{lstlisting}
alpha(K)
\end{lstlisting}





\end{enumerate}


\section{Bac 2009}


\exot{}




On considère la suite $(u_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par:
\[u_{n}=\left(1+\dfrac1n\right)^n.\]
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par:
\[f(x) = x -\ln(1 + x).\]
	\begin{enumerate}
		\item En étudiant les variations de la fonction $f$, montrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul, $\ln(1+x)\leqslant x$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$  non nul, $\ln(u_{n})\leqslant 1$.
		\item La suite $(u_{n})$ peut-elle avoir pour limite $+\infty$~?
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $(v_{n})$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par: $v_{n}=\ln(u_{n})$.
	\begin{enumerate}
		\item On pose $x=\dfrac1n$. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $x$.
		\item Que vaut $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$~? Aucune justification n'est demandée. \\[2ex]
		
Calculer $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_{n}$.
		\item En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente et déterminer sa limite.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\exot{}




On considère l'équation notée (E) : $ \ln x = -x$.

\medskip
 
Le but de l'exercice est de prouver que l'équation (E), admet une solution unique notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ et d'utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement. 

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie A : existence et unicité de la solution}\end{center}
 
On considère la fonction $f$ défmie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f (x) = x + \ln x$. 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
\item Vérifier que : $\dfrac{1}{2} \leqslant  \alpha \leqslant  1$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie B : encadrement de la solution} \boldmath$\alpha$ \end{center}
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \dfrac{4x - \ln x}{5}$. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude de quelques propriétés de la fonction $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
	\item En déduire que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~ 1\right],~ g(x)$ appartient à cet intervalle. 
	\item Démontrer qu'un nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ est solution de l'équation  (E) si et seulement si $g(x) = x$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = \dfrac{1}{2}$ et pour tout entier naturel $n$, par 

$u_{n+1} = g\left(u_{n}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le sens de variation de la fonction $g$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~\dfrac{1}{2} \leqslant  u_{n} \leqslant  u_{n+1} \leqslant 1$. 
	\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\alpha$.
	\end{enumerate} 
\item Recherche d'une valeur approchée de $\alpha$

	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de $u_{10}$, arrondie à la sixième décimale. 
	\item On admet que $u_{10}$ est une valeur approchée par défaut à $5 \times 10^{-4}$ près de $\alpha$. 
	
En déduire un encadrement de $\alpha$ sous la forme $u \leqslant  \alpha \leqslant  v$ où $u$ et $v$ sont deux décimaux écrits avec trois décimales.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}


\exot{}


\emph{Dans cet exercice, on demande aux candidats d'établir, en suivant la démarche proposée, deux résultats de cours.}

\medskip

On rappelle que la fonction $\ln$ est définie et dérivable sur $]0 ~;~ +\infty[$, positive sur 
$[1 ~;~ +\infty[$, et vérifie :  

\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln 1 = 0\\
\text{Pour tous réels strictement positifs}~ x~ \text{et}~y,~~\ln (xy)  = \ln x + \ln y\\
\text{Pour tout réel strictement positif} x, ~\left[\ln (x)\right]' = \dfrac{1}{x}\\
\ln (2) \approx 0,69~\text{à}~10^{-2}~\text{près}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0 ~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = \sqrt{x} -  \ln x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ et en déduire que $f$ admet un minimum sur $]0 ~;~ +\infty[$.
		\item En déduire le signe de $f$ puis que, pour tout $x > 1,~  0 < \dfrac{\ln x}{x} < \dfrac{\sqrt{x}}{x}$.
		\item En déduire que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$.
             \end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 

On considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0 ~;~ +\infty[$ par :
\[ f_{n}(x) = \dfrac{\ln x}{x^{\frac{1}{n}}}.\]

En utilisant la question 1., déterminer, si elle existe, la limite en $+ \infty$ de la fonction $f_{n}$.
\end{enumerate}

\exot{}


Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 
\[f(x) = \ln \left(x^2 + 4\right).\]

\medskip

\textbf{PARTIE A}
\begin{enumerate}
\item  Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.
\begin{enumerate}
\item  Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ .

\item Montrer que sur l'intervalle $[2~;~3]$ l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$.

Donner la valeur arrondie de $\alpha$ à 10$^{-1}$ .

\item Justifier que le nombre réel $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x) = x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\textbf{PARTIE B}\\

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}\\

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+l} = f(u_{n})$.\\
La courbe $\mathscr{C}$ représentative de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ sont tracées sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 
\begin{enumerate}
\item  À partir de $u_{0}$, en utilisant la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\Delta$, on a placé $u_{1}$ sur l'axe des abscisses. De la même manière, placer les termes $u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.

\item Placer le point $I$ de la courbe $\mathscr{C}$ qui a pour abscisse $\alpha$.

\item  
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $1\leqslant u_{n}\leqslant  \alpha$.

\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 

\item Déterminer sa limite. 

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
