   \documentclass[a4paper]{polymaths}
%\usepackage{showkeys}

\usepackage{theorem}

\newcommand{\bo}[1]{\Mathbold{ #1 }}
\renewcommand{\ov}[1]{\overline{ #1 }}
\newcommand{\ket}[1]{| #1 \rangle}
\newcommand{\indextry}[2]{#1, #2}

\graphicspath{{/home/moi/Lycee/IUT/figuresMuPAD/}}

%%%%%%%%%%%%%%%%% LEMME_THEOREME_PROPOSITION%%%%%%%%%%


\newcommand{\bth}[1]{\ENC{\Thm}{#1} }
%\newcommand{\eth}{ }}


\newcommand{\bprop}[1]{\ENC{\Prop}{#1} }
%\newcommand{\eprop}{ }}


\newcommand{\bcorol}[1]{\ENC{Corollaire}{#1}}
%\newcommand{\ecorol}{ }}


\newcommand{\blem}[1]{\ENC{Lemme}{#1} }
%\newcommand{\elem}{ }}



\renewcommand{\proof}{\noindent {\it \underline{Proof}.} \rm }
   %definition
\newcommand{\bdefi}[1]{\ENC{\Def}{#1}  }
%\newcommand{}}{  } }



\def\brem{\begin{description} \item[Remarque]  }
\def\erem{\end{description}}


\def\bexam{\begin{description} \item[Exemple]}
\def\eexam{\end{description}}





\entete{Fonctions de plusieurs variables}{TD avec rappels de cours}{IUT de Nantes SGM1}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \huge{\bf Fonctions de plusieurs variables}}

\bigskip

 
\end{center}


Ce document est une version tr\`es sommaire mathématiquement parlant d'un cours sur les fonctions de plusieurs variables. Malheureusement (!?), notre horaire ridicule ne nous permet pas d'aborder ces notions de manières plus rigoureuse.


\section{Introduction}

Les fonctions  de plusieurs variables\footnote{Il est sous-entendu que nous parlons de fonctions {\it num\'eriques } de plusieurs variables {\it toutes r\'eelles}.} apparaissent naturellement en physique et en math\'ematique. Nous sommes d'ailleurs d\'ej\`a familier avec le maniement de telles fonctions. En effet, consid\'erons par exemple un triangle de base $b$ et de hauteur $h$. Nous savons que l'aire $A$ de ce triangle est donn\'ee par la formule $$A=\frac{1}{2} bh. $$ Ainsi lorsque $b$ varie, $A$ varie et de m\^eme pour $h$. Nous voyons sur cette formule, qu'a tout couple $(b,h)$ correspond une unique valeur $A$. Nous dirons alors que $A$ est une fonction des deux variable $b$ et $h$ et nous noterons $A\equiv f(b,h)$, o\`u $f$ sera la fonction de deux variables d\'efinie par $$f(b,h)=\frac{1}{2} bh. $$


\SUBSECTION{Notations et terminologie}
D'une mani\`ere g\'en\'erale, on aura la d\'efinition suivante :

\bdefi{Une fonction $f$ de $n$ variables, $x_1,x_2,...,x_n$ est une loi qui assigne un unique nombre r\'eel not\'e $f(x_1,x_2,...,x_n)$ \`a tout point $(x_1,x_2,...,x_n)$ d'un sous-ensemble $D_f$ de $\mathbb{R}^n$. On notera
\begin{eqnarray}
 f &:&  D_f\to \bbr,\nonumber\\
   & & \ (x_1,x_2,...,x_n)\mapsto f(x_1,x_2,...,x_n).
\end{eqnarray}

On appelle $D_f$ le domaine de d\'efinition de $f$.
}

Si l'on se donne une fonction de plusieurs variables par une formule explicite sans pr\'eciser  le domaine de d\'efinition de cette fonction, alors il est sous-entendu que le domaine de d\'efinition est constitu\'e de tous les points  pour lesquels <<~la formule est bien d\'efinie~>>, c'est \`a dire, ne fournit pas de nombre complexe, ni de divisions par z\'ero. On parle alors de domaine naturel de d\'efinition.



\bexam Soit
$$f(x,y)=x\sqrt{1-y^2}.$$
\begin{figure}\label{aa1}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm, height=4cm]{xV(1-y2).eps}
\caption{$f(x,y)=x\sqrt{1-y^2}$}
\end{center}
\end{figure}
Alors $f$ est une fonction de deux variables de domaine naturel de d\'efinition\footnote{La seule restriction sur le couple $(x,y)$ pour que $f(x,y)$ soit bien d\'efinie provient de la variable $y$. On doit en effet demander que l'expression $1-y^2$ soit positive pour que la racine de cette expression soit d\'efinie.} $$D_f=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x\in\bbr, \ab{ y}\leq 1\}.$$
\eexam






















\bexam Soit
$$f(x,y)=\textrm{ln}(x^2-y).$$
\begin{figure}\label{lnx2}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm, height=4cm]{ln(x2-y).eps}
\caption{$f(x,y)=ln\pa{x^2-y}$}
\end{center}
\end{figure}
$f$ est seuleument d\'efinie lorsque $x^2-y>0$, c'est \`a dire pour les couples $(x,y)$ tels que $y<x^2$. La courbe (qui est une parabole)  $y=x^2$ s\'epare le plan $Oxy$ en deux r\'egions (et l'une de ces r\'egions est convexe). Pour savoir "de quel c\^ot\'e" de cette courbe se trouve le domaine naturel de d\'efinition de $f$, on utilise un couple test. Par exemple, pour le couple $(x,y):=(0,1)$, on a $x^2=0$ et $y=1$, donc ce point appartient \`a la r\'egion o\`u $y>x^2$. Le domaine naturel de d\'efinition correspond donc \`a la r\'egion ne contenant pas le point $(0,1)$.
\eexam

\SUBSECTION{Repr\'esentation graphique}
De la m\^eme mani\`ere que vous avez appris \`a associer \`a une fonction $f$ d'une variable $x$ son graphe (qui est l'ensemble des couples $\{(x,f(x))\in\mathbb{R}^2:x\in D_f\}$, nous allons associer \`a une fonction $f$ de $n$ variables $x_1,...,x_n$ son graphe g\'en\'eralis\'e, c'est \`a dire l'ensemble des $(n+1)$-uplet $\{(x_1,...,x_n,f(x_1,...,x_n))\in\mathbb{R}^{n+1}:(x_1,...,x_n)\in D_f\}$. Le graphe de $f$ est ainsi une surface (g\'en\'eralis\'ee) $S$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$.


L'ensemble des points correspondant dans $\mathbb{R}^{n+1}$ est la surface (g\'en\'eralis\'ee) repr\'esentative $S$ de $f$. %{\it Essayez de comprendre sur un sch\'ema la discussion ci-dessus}.


\bexam Consid\'erons  la fonction $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$. Le graphe de cette fonction est par d\'efinition l'ensemble des couples $(x,y,z)$   solution de l'\'equation \begin{equation} \label{zposi}
z=\sqrt{1-x^2-y^2}.\end{equation} Apr\`es avoir \'elev\'e au carr\'e les deux cot\'es de l'\'equation pr\'ec\'edente, on obtient $x^2+y^2+z^2=1$, qui repr\'esente une sph\`ere de rayon unit\'e, centr\'ee \`a l'origine. Nous devons toutefois tenir compte du fait que l'\'equation (\ref{zposi}) impose $z\geq0$. Ainsi, le graphe de $f$ correspond \`a la demi-sph\`ere sup\'erieure de rayon unit\'e dans l'\'espace $\mathbb{R}^3$ rapport\'e au rep\`ere habituel $(Ox,Oy,Oz)$.
\begin{figure}\label{demiBoule}
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{demiBoule.eps}
\caption{$f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$}
\end{center}
\end{figure}
\eexam

\Exot{}Déterminez les ensembles de définition des fonctions suivantes :
\begin{nliste}{3}
\item $f(x,y)=\sqrt{x^2-y^2}$  \item  $g(x,y)=\ln\pa{\fr{x+y}{x-y}}$  \item  $\sin\pa{\sqrt{x^2+y^2}}$
\end{nliste}

\SUBSECTION{Lignes de niveau}

On peut aussi repr\'esenter la distribution des valeurs de la fonction $f$ \`a l'aide de l'ensemble des points o\`u $f$ prend une valeur donn\'ee $K$. Cet ensemble est la courbe d'\'equation $K=f(x_1,...,x_n)\subset\mathbb{R}^n$. On l'appelle ligne de niveau d'ordre $K$. 
Pour une fonction $f$ de deux variables $x,y$, la ligne de niveau $K=f(x,y)$  la section de la surface (g\'en\'eralis\'ee) $S$ avec le plan parallèle à $(Oxy)$  et passant par le point de coordonnées $(0,0,K)$.


%\bexam Soit $f(x,y)=2-x-y$. La ligne de niveau d'ordre $K$ s'obtient comme le graphe des solutions de l'\'equation $2-x-y=K$, %c'est \`a dire $y=-x+(2-K)$. La ligne de niveau d'ordre $K$ est donc la droite (dans le plan $Oxy$) de pente $-1$ et %d'ordonn\'ee \`a l'origne $2-K$.
%\eexam

\bexam
Considérons la fonction définie par $f(x,y)=xy$. La ligne de niveau d'ordre $K$ s'obtient comme le graphe des solutions de l'\'equation $xy=K$, c'est \`a dire $y=K/x$. La ligne de niveau d'ordre $K$ est donc l'hyperbole d'équation $y=\fr{K}{x}$ dans le plan d'équation $z=K$.


\begin{figure}[!h]\label{demiBoule}
\begin{center}
\includegraphics[ height=6cm]{Hypxx.eps}
\caption{Ligne de niveau $f(x,y)=xy=K$}
\end{center}
\end{figure}
\eexam

\bexam Reprenons la figure \ref{lnx2}.  La ligne de niveau d'ordre $K$ s'obtient comme le graphe des solutions de l'\'equation $\ln\pa{x^2-y}=K$, c'est \`a dire $x^2-y={\rm e}^K$. La ligne de niveau d'ordre $K$ est donc la parabole d'équation $y=x^2-{\rm e}^K$ dans le plan d'équation $z=K$.
\eexam

\bexam Soit $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$. Il suffit d'\'etudier le graphe des solutions de l'\'equation $$x^2+y^2+z^2=K.$$

\begin{enumerate}
\item Pour $K>0$, le graphe des solutions de  cette \'equation  est une sph\`ere de rayon $\sqrt K$ centr\'ee \`a l'origine.
\item Pour $K=0$, le graphe des solutions de  l'\'equation est uniquement constitu\'e du point origine $(0,0,0)$.
\item Pour $K<0$, Il n'y a pas de ligne de niveau.
\end{enumerate}
\eexam





\Exot{} Soit $$f(x,y):=\frac{xy}{x^2+y^2}.$$ La ligne de niveau de cote $K=0$, consiste en l'axe des abscisses et des ordonn\'ees, car $f(x,y)=0$, si et seuleument si, ou bien $x$ ou bien $y$ est nul.
En g\'en\'eral, pour $K>0$, on doit discuter l'\'equation $f(x,y)=K$. R\'esoudre cette \'equation en $y$ en fonction de $x$.
Montrer que, pour  $K$ fix\'e tel que $\ab{ K} \leq 1/2$, la ligne de niveau \`a la cote $K$ est  constitu\'e de deux droites passant par l'origine.
%\eexam

\Exot{Loi des gaz parfaits}

Des gaz ayant certaines propriétés  plus tard sont
appelés \textit{gaz parfaits}. Ces gaz obéissent à une loi assez
remarquable $$PV=nRT$$ où où $P$, $V$ et $T$ représentent
respectivement la pression, le volume et la température du gaz . Le
nombre $n$ représente la quantité de matière exprimée en moles et
$R$ est la constante des gaz parfaits et vaut 8,3
$\text{J.K}^{-1}.\text{mol}^{-1}$.

Voici la représentation de cette équation pour une mole de gaz




\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{gaz.eps}\caption{Loi des Gaz parfaits}
\end{center}



\'Etudiez les courbes isochores (à volume constant), isobares (à
pression constante) et isothermes (à température constante)




\section{Limites et continuit\'e}
Pour une fonction $f$ d'une variable $x$, on a \'et\'e amen\'e pour \'etudier la continuit\'e de $f$ en un point $x_0$ du domaine de d\'efinition $D_f$, \`a consid\'erer les limites \`a gauche et \`a droite de $x_0$, $$
\lim_{x\to x_0^+}f(x), \ \ \ \ \ \ \lim_{x\to x_0^-}f(x).$$
Ces limites refl\`etent le fait que l'on peut approcher le point $x_0$ dans deux directions le long de l'axe $x$, c'est \`a dire, par la gauche ou par la droite.

Pour une fonction $f$ de deux variables $x,y$, la situation est d\'ej\`a enti\`erement diff\'erente. En effet, \'etant donn\'e un point $M^*(x^*,y^*)$ appartenant \`a $D_f$, on peut approcher ce point dans une infinit\'e de direction dans le plan $Oxy$. {\it Repr\'esentez quelques-unes de ces possibilit\'es sur un sch\'ema.}



\SUBSECTION{Limite le long d'une courbe}
Soient $f$ une fonction  de $n$ variables de domaine de d\'efinition $D_f$ et $M^*(x^*_1,...,x_n^*)$ un point de $D_f$. Supposons que $C$ soit une courbe\footnote{On consid\`erera toujours que l'on travaille avec des courbes <<~lisses~>>.}  dans $D_f$, c'est \`a dire il existe un intervalle $I\subset\bbr$ tel que $C:I\ni t\mapsto C(t)=(x_1(t),...,x_n(t))\in D_f$. On suppose de plus que pour un certain $t^*\in I$, $C(t^*)=M^*$.
Alors la limite de $f(x_1,...,x_n)$ lorsque $M(x_1,...,x_n)$ approche $M^*$ le long de $C$ est not\'ee
$$
\lim_{
M\xrightarrow{C}M^*}f(M), $$

et est d\'efinie par

$$
\lim_{
M\xrightarrow{C}M^*}f(M):=\lim_{t\to t^*}f(C(t)). $$


Autrement dit, dit d'une mani\`ere simple, la limite d'une fonction de $n$ variables le long d'une courbe est obtenue en substituant les \'equations param\'etriques de la courbe dans la formule d\'efinissant la fonction, puis  en calculant la limite appropri\'ee de la fonction r\'esultante d'une seule variable, limite usuelle au sens des fonctions d'une variable. {\it A vous de traduire cela par un sch\'ema}.



\bexam Soit $$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}.$$
\begin{figure}[!h]\label{ab1}
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{argh.eps}
\caption{$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$}
\end{center}
\end{figure}
Nous allons \'evaluer la limite de $f(x,y)$ lorsque $(x,y)\to(0,0)$ le long de diff\'erentes courbes.
\begin{enumerate}
\item La courbe $C$ correspond \`a l'axe des abscisses :
Les \'equations param\'etriques de l'axe des abscisses sont\footnote{Autrement dit $C:\bbr\ni t\mapsto (x(t),y(t)):=(t,0)$, o\`u on a choisi $I=\mathbb{R}$ et $t^*=0$.} $x=t$, $y=0$ ainsi
$$\lim_{(x,y)\xrightarrow{C}(0,0)}f(x,y)=\lim_{t\to 0}f(t,0)=\lim_{t\to 0} \frac{0}{t^2}=0.$$
\item La courbe $C$ correspond \`a l'axe des ordonn\'ees :
Les \'equations param\'etriques de l'axe des ordonn\'ees sont\footnote{Autrement dit $C:\bbr\ni t\mapsto (x(t),y(t)):=(0,t)$, o\`u on a choisi $I=\mathbb{R}$ et $t^*=0$.} $x=0$, $y=t$ ainsi,
$$\lim_{(x,y)\xrightarrow{C}(0,0)}f(x,y)=\lim_{t\to 0}f(0,t)=\lim_{t\to 0} \frac{0}{t^2}=0.$$
\item La courbe $C$ correspond \`a la droite d'\'equation $y=x$ :
Les \'equations param\'etriques de la droite $y=x$ sont\footnote{Autrement dit $C:\bbr\ni t\mapsto (x(t),y(t)):=(t,t)$, o\`u on a choisi $I=\mathbb{R}$ et $t^*=0$.} $x=t$, $y=t$ ainsi,
$$\lim_{(x,y)\xrightarrow{C}(0,0)}f(x,y)=\lim_{t\to 0}f(t,t)=\lim_{t\to 0} \frac{t^2}{2t^2}=\frac{1}{2}.$$
\end{enumerate}
\eexam


\SUBSECTION{Coordonn\'ees polaires}
Soit $f$ une fonction de deux variables $x,y,$. Il est souvent utile de faire le changement de variables $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$. En gardant $\theta$ fix\'e et en faisant tendre $r$ vers $0$, on approche le point origine suivant la droite faisant un angle $\theta$ avec l'axe des abcisses (Ceci constitue la courbe $C_\theta$).

\bexam Soit $$f(x,y)=\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}.$$ On peut \'evaluer $$\lim_{(x,y)\xrightarrow{C_\theta}(0,0)} f(x,y)$$ en utilisant le passage en coordonn\'ees polaires qui conduit \`a $$\lim_{r\to 0+} \frac{\sin(r^2)}{r^2}=1.$$
On remarque que la limite est la m\^eme pour toutes les courbes $C_\theta$.
\eexam

\Exot{} Soit $f~:~(x,y)\mapsto \begin{cases}0\ \text{ si } x=y=0\\ \fr{x^2-y^2}{x^2+y^2}\ \text{ sinon }\end{cases}$


En approchant (0,0) suivant la droite d'équation $x=2y$  dans llepan d'équation $z=0$, et
avec une idée intuitive de la continuité d'une fonction de 2 variables en  en  (0,0), montrez que $f$ n'est  pas continue en (0,0).

\SUBSECTION{Limites g\'en\'erales et continuit\'e}
Nous n'avons étudié qu'un cas particulier d'étude de limite de fonction de plusieurs variables. La notion g\'en\'erale de limite, c'est \`a dire la notion de limite pour une fonction de $n$ variables lorsque un point $M(x_1,..,x_n)$ tend vers un point $M^*(x^*_1,...,x_n^*)$, et ceci non obligatoirment suivant une courbe lisse, dépasse notre niveau actuel.


\section{D\'eriv\'ees partielles et diff\'erentiabilit\'e}

\bdefi{
Soit $f$ une fonctions de $n$ variables $x_1,...,x_n$. On appelle d\'eriv\'ee partielle de $f$ par rapport \`a la variable $x_j, 0\leq j\leq n$, la limite, si elle existe, suivante :
\begin{equation}
\label{dp}
\lim_{h\to 0} \frac{f(x_1,..,x_{j-1},x_{j}+h,x_{j+1},...,x_n)-f(x_1,..,x_{j-1},x_{j},x_{j+1},...,x_n)}{h}.\end{equation}
On utilise les symboles $$f'_{x_j}(x_1,...,x_n),\ \ \ \textrm{ou}\ \ \ \frac{\partial}{\partial x_j} f(x_1,...,x_n),\ \ \ \textrm{ou}\ \ \ \partial_{x_j} f(x_1,...,x_n).$$
}

Autrement la d\'eriv\'ee partielle de $f$ par rapport \`a la variable $x_j$ est obtenue comme la d\'eriv\'ee usuelle au sens des fonctions d'une variable de la fonction $f$ pour laquelle on consid\`ere que les variables $x_1,...,x_{j-1},x_{j+1},...,x_n$ sont fix\'ees, c'est \`a dire que l'on consid\`ere seuleument que la variable $x_j$ n'est pas fix\'ee.

\Exot{} \'Ecrivez cette définition dans le cas d'une fonction de 2 variables.

Si ces d\'eriv\'ees partielles existent non seuleument au point $M^*(x_1^*,...,x_n^*)$, mais dans un voisinage de $M^*$, elles d\'efinissent \`a leurs tour, $n$ nouvelles fonctions $\partial_{x_i}f, i=1...,n$ de $n$ variables $x_1,...,x_n$. Ces fonctions peuvent, elles aussi, admettrent des d\'eriv\'ees partielles par rapport aux $n$ variables. On appellera ces d\'eriv\'ees, d\'eriv\'ees partielles secondes de $f$, comme par exemple
$$\partial_{x_j}(\partial_{x_k} f(x_1,...,x_n)), $$ que nous noterons $$\partial_{x_jx_k}^2f(x_1,...,x_n).$$


\bexam
Soit $f(x,y):=x^4\sin(xy^3).$ Alors,
\begin{eqnarray}
\partial_x f(x,y)&=&\partial_x(x^4\sin(xy^3))=x^4\partial_x(\sin(xy^3))+\sin(xy^3)\partial_x(x^4),\nonumber\\
   &=&x^4y^3\cos(xy^3)+4x^3\sin(xy^3).\nonumber\\
\partial_y f(x,y)&=&\partial_y(x^4\sin(xy^3))=x^4\partial_y(\sin(xy^3))+\sin(xy^3)\partial_y(x^4),\nonumber\\
   &=&x^4.(3xy^2)\cos(xy^3)+\sin(xy^3).0=3x^5y^2\cos(xy^3).
\end{eqnarray}
\eexam





\brem
On peut donner une interpr\'etation g\'eom\'etrique simple aux d\'eriv\'ees partielles. Consid\'erons pour que cela soit plus ais\'e \`a formuler une fonction $f$ de deux variables. Soit $P(x,y,z)$ un point de la surcafe $z=f(x,y)$. Si on garde $y$ constant, par exemple $y=y_0$, et que l'on laisse varier $x$, alors le point $P$ se d\'eplace le long d'une courbe $C_1$ obtenue comme l'intersection de la surface avec le plan vertical $y=y_0$. La d\'eriv\'ee partielle $$\partial_x f(x_0,y_0),$$ peut-\^etre interpr\'et\'ee comme la pente de la droite tangente \`a la courbe $C_1$ au point $P(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$.
\erem


\bexam La diagonale d'un rectangle de cot\'e $x,y$ a pour valeur $D=\sqrt{x^2+y^2}.$ Le taux de variation  lorsque $x$ varie et $y$ reste constant de $D$ est $$\partial_x D=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$
\eexam



\Exot{}


Calculer les d{\'e}riv{\'e}es partielles au premier ordre des fonctions 
suivantes :
\begin{enumerate}
\item
$f~:~(x,y)\mapsto x^{y^2}$.
\item
$f~:~(x,y)\mapsto\ln\displaystyle{
\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\sqrt{x^2+y^2}+x}}$.
\item
$f~:~(x,y)\mapsto\operatorname{arctg}\sqrt{\displaystyle{
\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}}$.
\item
$f~:~(x,y,z)\mapsto\exp(x/y)+\exp(z/y)$.
\item $T~:~(P,V)\mapsto (\fr{1}{R}\pa{P+\fr{a}{V^2}}\pa{V-b}$ (Loi de Van der Walls)
\end{enumerate}


On peut définir des dérivées d'ordre supérieur : $f''_{x^2}$, $f''_{xy}$, $f''_{yx}$,...


\Exot{} Calculez toutes les dérivées d'ordre 1 des fonctions $(x,y)\mapsto \ln \fr{y}{x}$ et $(x,y)\mapsto \Arctan \fr{y}{x}$


\SUBSECTION{Th\'eor\`eme d'inversion de Schwartz}
Soit $f$ une fonction de deux variables $x,y$. Supposant que
$\partial_{xy} f(x,y)$ et $\partial_{yx} f(x,y)$ existent, on est amen\'e \`a se demander si ces deux d\'eriv\'ees partielles coincident. Le théorème de Schwartz qui répond à ce problème étant hors de notre portée, nous supposerons que les cas que nous étudierons <<~marcheront~>>.





\Exot{}


Calculez les différentielles d'ordre 2 de la fonction $(x,y)\mapsto \ln \fr{y^2}{x}$. Que remarquez-vous ? 


\SUBSECTION{Fonctions diff\'erentiables}
Rappelons qu'une fonction $f$ d'une variable est dite d\'erivable en un point $x_0$ de son domaine de d\'efinition si cette fonction admet une d\'eriv\'ee en ce point, c'est \`a dire la limite $$
\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ existe et est finie. Une fonction d\'erivable est caract\'eris\'ee par deux propri\'et\'es importantes. Tout d'abord la fonction est continue au point consid\'er\'e, c'est \`a dire "d\'erivable implique continue", et de plus, la courbe $y=f(x)$ admet une tangente non vertical au point consid\'er\'e.  \\


Pour les fonctions de deux variables, la situation est tr\`es diff\'erente. En effet, il est ais\'e de se persuader qu'il n'est pas suffisant de demander que les d\'eriv\'ees partielles $\partial_x f$ et $\partial_y f$ existent pour d\'efinir la notion de d\'erivabilit\'e. En effet, on a d\'ej\`a rencontrer des fonctions qui poss\`edent des d\'eriv\'ees partielles d'ordre un en un point donn\'e, mais qui ne sont pour autant pas continues en ce point.

\bexam
Soit $f(x,y)=-1$ si $x>0$ et $y>0$ et $f(x,y)=0$ sinon. Alors $f$ est discontinue au point $(0,0)$, mais les d\'eriv\'ees partielles existent \`a l'origine, $\partial_x f(0,0)=0$, $\partial_y f(0,0)=0$.
\eexam


Nous ne verrons pas de définition de la différentiabilité...mais nous utiliserons cette notion ( c'est la logique du programme !).

Retenez quand même que la diff'erentiabilit\'e d'une fonction de deux variables est une notion plus forte que la simple existence des d\'eriv\'ees partielles du premier ordre.










\SUBSECTION{D\'erivation en chaine}


\bprop { Si $x=x(t)$ et $y=y(t)$ sont deux fonctions d\'erivables de la variable $t$, et si $z=f(x,y)$ est diff\'erentiable au point $(x(t),y(t))$, alors $z=f(x(t),y(t))$ est diff\'erentiable en $t$ et $$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}. $$
}

\bexam  Soient $z=f(x,y)=x^2y$, $x=x(t)=t^2$, $y=y(t)=t^3$. Alors
\begin{eqnarray}
\frac{dz}{dt}&=&\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}=(2xy)(2t)+(x^2)(3t^2), \nonumber \\
         &=&(2t^5)(2t)+(t^4)(3t^2)=7t^6.
\end{eqnarray}
Remarquons qu'il y a une mani\`ere beaucoup plus simple d'obtenir ce r\'esultat en remplacant directement $x$ et $y$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'expression de $z$. En effet, $z=x^2y=(t^2)^2(t^3)=t^7$, ce qui conduit bien au r\'esultat pr\'ec\'edent.
\eexam

\bexam Soient $z=\sqrt{xy+y}, x=\cos\theta, y=\sin\theta.$
On obtient de la loi de d\'erivation en chaine :
\begin{eqnarray}
\frac{dz}{d\theta}&=&\frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{d\theta}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{d\theta}, \nonumber\\
 &=&\frac{1}{2}(xy+y)^{-1/2}(y)(-\sin\theta)+\frac{1}{2}(xy+y)^{-1/2}(x+1)(\cos\theta).
\end{eqnarray}
En particulier, si l'on veut calculer $\frac{dz}{d\theta}$ lorsque $\theta=\pi/2$, on est conduit \`a $$x=\cos\frac{\pi}{2}=0, \ \ \ y=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$
En substituant $x=0, y=1, \theta=\pi/2$, on obtient
$$\frac{dz}{d\theta}=\frac{1}{2}(1)(1)(-1)+\frac{1}{2}(1)(1)(0)=-\frac{1}{2}.$$
\eexam

\brem Dans le cas particulier d'une fonction $z=F(x,y)$ de deux variables o\`u $y$ est une fonction diff\'erentiable de la variable $x$, on peut-\'ecrire
$$\frac{dz}{d x }=\frac{\partial F}{\partial x} \frac{dx}{dx}+\frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dx}=\frac{\partial F}{\partial x} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dx}.$$ Cette relation est utile lorsque l'on cherche les solutions de l'\'equation $F(x,y)=0$ sous  la forme de couple $(x,y(x))$, o\`u $y(x)$ est une fonction diff\'erentiable de $x$. En diff\'erentiant $F(x,y)=0$, on obtient
$$\frac{\partial F}{\partial x} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{dx}=0,$$ c'est \`a dire $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}},$$ pourvu que $$\frac{\partial F}{\partial y}\neq 0.$$

Par exemple, si on cherche \`a d\'eterminer la condition sur la d\'eriv\'ee $\frac{dy}{dx}$ de la variable $y$ v\'erifiant l'\'equation $x^3+y^2x-3=0$, on aura avec $F(x,y)=x^3+y^2x-3$,
$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}=-\frac{3x^2+y^2}{2yx}.$$
\erem


Venons-en maintenant \`a une forme g\'en\'erale du th\'eor\`eme de la loi de d\'erivation en chaine.

\bprop{ Si $x=x(u,v)$ et $y=y(u,v)$ sont deux fonctions des deux variables $u,v$ admettant des d\'eriv\'ees partielles du premier ordre $\partial_u x, \partial_v x, \partial_u y, \partial_v y$ au point $(u,v)$, et si $z=f(x,y)$ est diff\'erentiable au point $(x(u,v),y(u,v))$, alors $z=f(x(u,v),y(u,v))$ admet des d\'eriv\'ees partielles du premier ordre $\partial_u z, \partial_v z$ en $(u,v)$ donn\'ees par \begin{eqnarray}
&& \frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}, \nonumber\\
&&\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}.
\end{eqnarray}
}


\bexam Soient $z=e^{xy}, x=2u+v, y=u/v$.
Alors \begin{eqnarray}
 \frac{\partial z}{\partial u}&=&\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}=(ye^{xy})(2)+(xe^{xy})(\frac{1}{v})=\left(2y+\frac{x}{v}\right)e^{xy}, \nonumber\\
   &=&\left(2\frac{u}{v}+\frac{2u+v}{v}\right)e^{(2u+v)(u/v)}=\left(4\frac{u}{v}+1\right)e^{(2u+v)(u/v)}.
\end{eqnarray}
\eexam

\Exot{}
\been\item
Soit $f=\exp(u-2v)$, o{\`u} $u~:~(x,y)\mapsto\sin(x)$ et
$v~:~(x,y)\mapsto x^3+y^2$. Calculer $\partial f/\partial x$ et
$\partial f/\partial y$.
\item
Soit $f=\arcsin(u+v)$, o{\`u} $u~:~ x\mapsto\cos(\alpha)\sin(x)$
et $v~:~ x\mapsto\sin(\alpha)\cos(x)$. Calculer $\partial f/\partial x$ et
$\partial f/\partial y$.
\een


\Exot{}
Soit $\varphi~:~\bbr\to\bbr$ une fonction d{\'e}rivable et
$f~:~\bbr^2\to\bbr~:~(x,y)\mapsto x\varphi(y/x)$. Montrer que
\[
x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=f.
\]



\Exot{}

Montrer que 
$f~:~(x,y)\mapsto\ln(x^2+y^2)$ v{\'e}rifie l'{\'e}quation de Laplace
$(\partial^2 f/\partial x^2)+(\partial^2 f/\partial y^2)=0$.




\section{Extremums}

Nous n'entrerons pas dans le détail des preuves, mais retiendrons quelques idées pratiques.

\ENC{\Def\ \ Point critique}{Le point $M(x_0,y_0)$ est un point critique de la suface d'équation $z=f(x,y)$ si et seulement si 
$f'_x(x_0,y_01)=f'_y(x_0,y_0)=0$}

Cette définition nous permet d'énoncer le théorème fondamental suivant

\ENC{\Thm}{Si la fonction $f~:~(x,y)\mapsto f(x,y)$ est suffisamment régulière et admet un extremum au point M, alors M est nécessairement un point critique}

\danger Ce théorème dit seulement que pour être un extremum, il faut d'abord être un pont critique, mais être un point critique n'est parfois pas suffisant.

\bexam

Considérons par exemple la fonction $(x,y)\mapsto x^2-y^2$. alors $f'_x(x,y)=2x$ et $f'_y(x,y)=-2y$. nous en déduisons que (0,0) est le seul point critique. Pourtant, ce n'est ni un minimum ($f(0,1)=-1<f(0,0)$), ni un maximum ($f(1,0)=1>f(0,0)$). C'est en fait un point col comme l'illustre la figure :


\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{ph.eps}
\caption{$f(x,y)=x^2-y^2$}
\end{center}

\eexam


Malgré tout, il existe une condition nécessaire et suffisante dont la preuve est encore hors de notre portée

\ENC{\Thm}{
Soit $f~:~x\mapsto f(x,y)$ une fonction suffisamment régulière. 
Posons $r=f''_{x^2}(x_0,y_0)$, $s=f''_{xy}(x_0,y_0)=f''_{yx}(x_0,y_0)$ et $t=f''_{y^2}(x_0,y_0)$

Alors $f$ admet un extremum en $(x_0,y_0)$ si, et seulement si 
\[\begin{cases} \delta= s^2-rt<0\\ f'_x(x_0,y_0)=f'_y(x_0,y_0)=0\end{cases}\]

}

\bexam Considérons la fonction $f$ définie par $f(x,y)= x^3+y^3-3xy$

Vérifiez qu'après calcul on obtient 2 points crtiques : (0,0) et (1,1), puis que \bel
\item en (0,0), $\delta=9>0$
\item en $(1,1)$, $\delta=-27<0$
\el

Donc seul (1,1) est un extremum. Or $f(1,1)=-1<f(1,0)=1$, donc $f$ admet un minimum en  (1,1). 



\eexam

\Exot{}
\been

\item
Montrer que la fonction $f~:~(x,y)\mapsto 0.5-\sin(x^2+y^2)$ admet un 
extremum {\`a} l'origine et indiquer s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
\item
{\'E}tudier les points critiques de la fonction 
$f~:~(x,y)\mapsto x^2+y^2-xy+3x-2y+1$.
\item
{\'E}tudier les points critiques de la fonction 
$f~:~(x,y)\mapsto x^3+y^3-3xy$.
\end{enumerate}


\section{Diff\'erentielles}
\ENC{\Def}{Etant une fonction $f$ de deux variables suffisamment régulière, on appelle diff\'erentielle totale  de $f$ au point $(x_0,y_0)$ l'application lin\'eaire $\d f$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$ d\'efinie par \begin{eqnarray}
 \d f &:&\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\nonumber\\
    & & (h_1,h_2)\mapsto \d f(h_1,h_2)=h_1\partial_x f(x_0,y_0)+ h_2\partial_y f(x_0,y_0).
\end{eqnarray}}

On commettra souvent un abus de notation en confondant la diff\'erentielle et sa valeur, c'est \`a dire  on notera cette valeur  aussi $\d f$.


\brem
Si $f$ est la fonction d\'efinie par $f(x,y)=x,$ on a $\partial_x f=1$, $\partial_y f=0$ et $\d f=dx=h_1$ et de la m\`eme mani\`ere pour $f(x,y)=y$, $\d f=dy=h_2$. On \'ecrira ainsi pour une fonction $f$ quelconque $$\d f=\partial_x f(x_0,y_0)dx+\partial_y f(x_0,y_0)dy.$$
\erem


\bprop {On a les r\`egles suivantes :
\begin{enumerate}
\item Si $f=uv$, on a $\d f = u dv +v du.$
\item Si $f=u/v$, on a $\d f =(v du - u dv)/(v^2)$.
\end{enumerate}
}



\bexam

$f(x,y)=\fr{x}{y}$ et $\d f=\fr{1}{y}\d x-\fr{x}{y^2}\d y$

\eexam

\Exot{}

Calculer les diff{\'e}rentielles totales des fonctions :
\begin{enumerate}
\item
$f~:~(x,y)\mapsto\ln(xy)$.
\item
$f~:~(x,y)\mapsto x^2+xy^2+\sin y$.
\item
$f~:~(x,y,z)\mapsto\operatorname{tan}(3x-y)+6^{y+z}$.
\end{enumerate}



\section{Formes différentielles}

\ENC{\Def}{On appelle forme différentielle toute application du type \[\omega=A(x,y)\d x+B(x,y)\d y\]}

Le problème, notamment en thermodynamique, sera de savoir si $\omega$ est la différentielle totale d'une fonction de deux variables $f$.

On dira alors que $\omega$ est une \textbf{forme différentielle exacte}.

Si l'on suppose que $\omega$ est exacte, alors on doit avoir 

\[ A(x,y)=f'_x(x,y)\ \ B(x,y)=f'_y(x,y) \]

Or, compte tenu de la régularité de $f$, on doit avoir $f''_{xy}=f''_{yx}$, donc $A'_y=B'_x$.

On admettra donc le résultat suivant

\ENC{\Thm}{$\omega=A(x,y)\d x+B(x,y)\d y$ est une forme différentielle exacte si et seulement si \[A'_y(x,y)=B'_x(x,y)\]}

Mais on ne s'arrête pas là ! Il faut continuer à bidouiller sur des objets mathématiques que nous ne pouvons pas, à notre niveau, définir proprement, mais que le physicien réclame...

Notre problème est maintenant le suivant : ayant vérifié qu'une forme différentielle était exacte, peut-on <<~remonter~>> vers la fonction dont elle est la différentielle exacte~?



\bexam

Soit $\omega=2xy\d x+x^2\d y$. On vérifie facilement que cette forme différentielle est exacte.

Alors $A(x,y)=2xy=\fr{\partial f}{\partial x}(x,y)$, donc $f(x,y)=\Int{}{}2xy +g(y)$, $g(y)$ étant la partie constante par rapport à $x$ de $f(x,y)=$ mais pouvant dépendre de $y$.

On obtient $f(x,y)=x^2y+g(y)$. Mais $ \fr{\partial f}{\partial y}(x,y)=B(x,y)=x^2$ d'une part mais aussi $ \fr{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^2+g'(y)$. On en déduit que $g'(y)=0$ et donc que $g(y)=\la$ avec $\la\in\bbr$.

\eexam


\Exot{}

\been
\item Montrez que $\fr{(3x^2+y^2)y\d x-2x^3\d y}{y^3}$
est la différentielle totale d'une fonction que vous déterminerez.

\item Même question avec $(y^2-3)x\d x+(1+x^2)y\d y$
\een
\end{document}
