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\begin{document}

\setcounter{NumLecon}{0}

\setlength{\parindent}{0pt}
\TITRE{I}{Chapitre}{LES COMPLEXES}{}{Les Complexes}{shadok.eps}

\begin{figure}
  \begin{Theoreme}[Ensemble $\bbc$]
On  définit un ensemble $\bbc$ 
\bel
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\bbr$
\item contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$ 
\item tel que chaque élément $z$ de $\bbc$ peut s'écrire de manière \textbf{unique} sous la forme   $$z=a+ib \quad \text{avec } a \text{ et } b \text{ des nombres réels}$$
\el
    
    \end{Theoreme}
  \end{figure}



\subsection{Forme algébrique}

Cette écriture unique est appelée \textbf{forme algébrique} du réel $z$.

Le nombre $a$ est appellé \textbf{partie réelle} de  $z$ et notée $\RR e(z)$

Le nombre $b$ est appellé \textbf{partie imaginaire} de  $z$ et notée $\IR m(z)$

\begin{figure}
  \begin{DANGER}
    $\IR m(z)$ est \cacher{un nombre réel}.
    \end{DANGER}
  \end{figure}


  \begin{figure}
    \begin{Idee}{\`A quoi sert l'unicité de la forme algébrique ?}
Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat $ 2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0$ avec $x$ et $y$ des réels.  Et bien le membre de gauche est une forme algébrique puisque de la forme réel + $i\cdot$réel. Or la forme algébrique de 0 est $0+i\cdot0$. 

Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles ( bienvenue dans la deuxième dimension... ) et donc 

\cacheg{$ 2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x+3y-5=0\\ 7x-32y+1=0\end{cases}$}
\end{Idee}
\end{figure}

\subsection{Le plan complexe}

Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu'on munit d'un repère $\pa{O,\ve{e_1},\ve{e_2}}$

\des{limfonc.34}{5}


\`A tout nombre complexe $z=a+ib$ on associe le point $M$ de coordonnées $(a,b)$ qu'on  appelle \textbf{image} de complexe $z=a+ib$. On le note souvent $M(z)$.

Inversement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(a,b)$, on associe son \textbf{affixe} $z=a+ib$  qu'on note souvent $z_M$.

Enfin,  à tout vecteur $\ve{u}=a\ve{e_1}+b\ve{e_2}$ de coordonnées $(a,b)$ dans la base $\pa{\ve{e_1},\ve{e_2}}$  est associé  une affixe $z_{\ve{u}}=a+ib$



\subsection{Premiers calculs géométriques}

\bel

\item Soient $\ve{u}$ et $\ve{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(a,b)$ et $(a',b')$, alors  $\ve{u}+\ve{v}=(a+a')\ve{e_1}+(b+b')\ve{e_2}$, donc 

\enc{$z_{\ve{u}+\ve{v}}=\cachegg{z_{\ve{u}}+z_{\ve{v}}}$}



\item De même, si $\la$ est un nombre réel 


\enc{ $z_{\la \ve{u}}=\cachegg{\la z_{\ve{u}}}$}

\item Alors, si  $I$ est le \textbf{milieu} du segment $[A,B]$, on a

\enc{ $z_I=\cachegg{\ud(z_A+z_B)}$}



\item Pour tous points $A$ et $B$ 

\enc{$z_{\ve{AB}}=\cachegg{z_B-z_A}$}

\el


\subsection{Conjugué d'un complexe}
\begin{figure}
  \begin{Definition}[Conjugué]
    On appelle conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ le nombre $$\cacheg{\overline{z}=a-ib}$$
    \end{Definition}
  \end{figure}



Géométriquement cela donne 

\des{limfonc.35}{4}

Je vous laisse prouver les propriétés immédiates suivantes


\begin{figure}
  \begin{Propriete}[]
    \bel
\item $M(z)$ et $M'(\overline{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe $(O,\ve{e_1})$
\item $\overline{z_1+z_2}=\cacheg{\overline{z_1}+\overline{z_2}}$
\item $\overline{z_1z_2}=\cacheg{\overline{z_1}\ \, \overline{z_2}}$
\item $\overline{\overline{z}}=\cacheg{z}$
\item $z\in\bbr\Longleftrightarrow z=\cacheg{\overline{z}}$
\item $z\in i\bbr\Longleftrightarrow z=\cacheg{-\overline{z}}$
\item $\RR e(z)=\cacheg{\ud(z+\overline{z})}$
\item $\IR m(z)=\cacheg{\ud(z-\overline{z})}$
\item Si $z=a+ib$, alors $z\overline{z}=\cacheg{a^2+b^2}$
\el
    \end{Propriete}
  \end{figure}



\subsection{\`A quoi servent les conjugués ?}


\subsubsection{\`A montrer qu'un complexe est un réel}

En effet, si on arrive à montrer que $\overline{z}=z$, alors on en conclut que $z$ est réel.

\subsubsection{\`A rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques}

En effet, $$z\cdot\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2$$


\begin{figure}
  \begin{Exemple}[]
    Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de $2+i$~: 

$\fr{1}{2+i}=\cacheg{\fr{1}{2+i}\times\fr{2-i}{2-i}=\fr{2+i}{4+1}=\fr{2}{5}+\fr{1}{5}i}$
    \end{Exemple}
  \end{figure}


\subsection{Module d'un nombre complexe}


\begin{figure}
  \begin{Definition}[Module]
    Le module du complexe  $z$ est le réel positif noté $|z|$ tel que $$|z|=\sqrt{z\ \,\overline{z}}$$
    \end{Definition}
  \end{figure}


  \begin{figure}
    \begin{Remarque}[]
      \bel
\item Cette définition en est bien une car $z\ \,\overline{z}=a^2+b^2$ d'après notre étude sur les conjugués. 
\item Si $a$ est un réel, $|a|=\sqrt{a\ \,\overline{a}}=\cacheg{\sqrt{aa}=\sqrt{a^2}}$ car $\overline{a}=a$. Donc le module de $a$ est bien la valeur absolue de $a$ et notre notation est cohérente.

La notion de module dans $\bbc$ généralise donc celle de valeur absolue dans $\bbr$.
\el
      \end{Remarque}
    \end{figure}


\subsubsection{Interprétation géométrique}

\des{limfonc.36}{4}

Nous venons de voir que, si $z=a+ib$, alors 

\enc{$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$}

Or, qu'est-ce que $\sqrt{a^2+b^2}$ si ce n'est la norme du vecteur $\ve{OM}$ ou encore la longueur $OM$.

\enc{$\ab{z_M}=\Vert\ve{OM}\Vert=OM\qquad \ab{z_{\ve{u}}}=\Vert \ve{u}\Vert$}


\subsubsection{Propriétés des modules}

Je vous laisse prouver les propriétés suivantes




\begin{figure}
  \begin{Propriete}[]
    \bel
\item $\ab{\overline{z}}=\cacheg{\ab{z}}$
\item $\ab{z}=0\ssi \cacheg{ z=0}$
\item $\ab{z_1\cdot z_2}=\cacheg{\ab{z_1}\cdot\ab{z_2}}$
\item $\RR e(z)\ie \cacheg{\ab{z}}$
\item $\IR m(z)\ie \cacheg{\ab{z}}$
\el
    \end{Propriete}
  \end{figure}


La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration

\begin{figure}
  \begin{Propriete}[Inégalité triangulaire]
    $$\ab{z_1+z_2}\ie\ab{z_1}+\ab{z_2}$$
    \end{Propriete}
  \end{figure}



C'est à dire, pour aller de Nantes à Montaigu, il est plus long de passer par Bratislava que de suivre la RN 137.

Pour les curieux, voici comment cela se démontre.

\sm

Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de chaque membre.

Or $\ab{z_1+z_2}^2=\pa{z_1+z_2}\pa{\overline{z_1+z_2}}=(z_1+z_2)\pa{\overline{z_1}+\overline{z_2}}=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2$

\sm

D'autre part $\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2=\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2$

Il s'agit donc de comparer les <<~doubles produits~>>.

Or $z_1\overline{z_2} +\overline{z_1}z_2=z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\RR e\pa{z_1z_2}\ie 2\ab{z_1z_2}$ d'après une propriété ci-dessus. Donc 
$$\ab{z_1+z_2}^2=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2\ie\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2=\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2$$


\section{R\'ESOLUTION D'\'EQUATIONS DU SECOND DEGR\'E}

\subsection{Racine carrée d'un nombre complexe}

L'objet de cette section est de résoudre dans $\bbc$ l'équation $z^2=\al$

\subsubsection{Racine carrée d'un nombre réel}

On suppose ici que $\al$ est un réel.


\bel
\item        \boldmath        $\al\se        0$\unboldmath        :        alors        $z^2=\al\ssi
  z^2-\al=$\cacher{$(z-\sqrt{\al})(z+\sqrt{\al})=0$}.  Les solutions\footnote{LA solution  si $\al=0$}
  sont donc \cacher{$\pm \sqrt{\al}$}

  \begin{figure}
    \begin{Exemple}[]
      On connaît : $z^2=4\ssi $\cacheg{$z=-2$} ou \cacheg{$z=2$}
      \end{Exemple}
    \end{figure}



\item \boldmath $\al< 0$\unboldmath : alors $z^2=\al\ssi (z-i\sqrt{-\al})(z+i\sqrt{-\al})=0$. Les solutions sont donc $\pm i\sqrt{-\al}$


  \begin{figure}
    \begin{Exemple}[]
      C'est la nouveauté : $z^2=-4\ssi$ \cacheg{$z=-2i$} ou \cacheg{$z=2i$}
      \end{Exemple}
    \end{figure}

\el


\subsubsection{Racine carrée d'un complexe non réel}

Les choses se compliquent ! Nous allons traiter un exemple pour ne pas vous faire (trop) peur. 


\begin{figure}
  \begin{Exemple}[]
    
Cherchons les racines carrées de $4+3i$, à savoir les nombres
$a+ib$ tels que $(a+ib)^2=a^2-b^2+2iab=4+3i$. 
    \end{Exemple}
  \end{figure}

 Par unicité de la forme algébrique on obtient 

$\bsyc a^2-b^2&=&4\\a^2+b^2&=&5\\2ab&=&3\esyc$

Ainsi $a^2=$\cacher{$9/2$} et $b^2=$\cacher{$1/2$}, donc $a=$\cacher{$\pm3\sqrt{2}/2$} et
$b=$\cacher{$\pm\sqrt{2}/2$}, or $2ab=3$, donc $a$ et $b$ sont \cacher{de même signe}.

Les solutions sont donc \cacher{$\fr{\sqrt{2}}{2}(3+i)$} et
\cacher{$-\fr{\sqrt{2}}{2}(3+i)$}



\subsection{Résolution de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec} \ a,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels}

C'est comme en 1\ere : $ax^2+bx+c=0\ssi a\cro{\pa{x+\fr{b}{2a}}^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}}=0\ssi \pa{x+\fr{b}{2a}}^2=\fr{b^2-4ac}{(2a)^2}$

Tout dépend donc du signe de $b^2-4ac$, puis on utilise les résultats de la section précédente.


\begin{figure}
  \begin{Theoreme}[Résolution de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec} \ a,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels]
    L'équation $ax^2+bx+c=0$ admet toujours des solutions sur $\bbc$. 
Notons $\Delta=b^2-4ac$ le \textbf{discriminant} de l'équation.
\bel
\item Si $\Delta=0$, il existe une unique solution \cacheg{$x=-\fr{b}{2a}$}
\item Si $\Delta>0$, il existe deux solutions réelles  \cacheg{$x=\fr{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$}
\item Si $\Delta<0$, il existe deux solutions complexes conjuguées \cacheg{$x=\fr{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$}
\el
    \end{Theoreme}
  \end{figure}


Vous serez amenés au hasard d'exercices à résoudre des équations à coefficients complexes, mais on n'attend de vous aucun savoir-faire particulier : vous serez guidés pas à pas.


\section{FORME TRIGONOM\'ETRIQUE}

\subsection{Argument d'un complexe non nul}

\subsubsection{Forme trigonométrique}

Vous vous souvenez de la correspondance entre $\bbc$ et le Plan. Nous avions privilégié les coordonnées cartésiennes d'un point. On aurait pu utiliser tout aussi bien ses \textbf{coordonnées polaires}. Le Plan a cette fois besoin d'être orienté (il le sera implicitement à partir de maintenant).

\des{limfonc.37}{4} 

Ainsi, $(r,\theta)$ étant le couple de coordonnées polaires de l'image $M$ de $z$, on a $z=r\cos\theta+ir\sin\theta$ déterminé de manière unique, car c'est en fait une forme algébrique déguisée : on l'appelle \textbf{forme trigonométrique} du complexe $z$.

\enc{$z=r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$}

Les physiciens notent ce résultat sous la forme 

\enc{$z=\cro{r,\theta}$}


\subsubsection{Congruence modulo 2$\pi$}

Vous rencontrerez souvent la notation $x\equiv y[2\pi]$ qui se lit <<~$x$ est  congru à $y$ modulo 2$\pi$~>>. Elle veut simplement dire que $x-y$ est un multiple de $2\pi$, c'est à dire qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $x-y=k\times 2\pi$. Retenons

\enc{$x\equiv y[2\pi]\ssi \text{ il existe } k\in\bbz \text{ tel que } x=y+2k\pi$}


Par   exemple,  vous   savez   que  $\fr{\pi}{3}\equiv   \fr{4\pi}{3}[2\pi]$~:~dessinez  un   cercle
trigonométrique pour vous en convaincre.

\subsubsection{Mesure d'un angle de vecteurs}

Nous n'avons pas les moyens de définir <<~proprement~>> les angles de vecteurs. Nous n'en avons qu'une définition intuitive. Ce qui nous intéresse, c'est que $\theta$ est UNE mesure en radians de l'angle de vecteurs $\pa{\ve{e_1},\ve{OM}}$. UNE mesure, car elle est définie modulo 2$\pi$. Et bien cette mesure sera UN argument du complexe $z$, qu'on notera $\arg z$.
On retiendra

\enc{$\arg z\equiv \theta[2\pi]$}

Par exemple, $\arg 32\equiv 0[2\pi]$, $\arg 32 i\equiv \fr{\pi}{2}[2\pi]$.

\subsubsection{Des formes trigonométriques de référence}

\bel

\item $1=\cos 0+i\sin 0$  donc \cacher{$|1|=1$ et $\arg(1)\equiv 0[2\pi]$}
\item $i=\cos\pa{\fr{\pi}{2}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{2}}$  donc \cacher{$|i|=1$ et $\arg(i)\equiv\pa{\fr{\pi}{2}}[2\pi]$}
\item $|1+i|=\sqrt{2}$ et $1+i=\sqrt{2}\pa{\fr{\sqrt{2}}{2}+i\fr{\sqrt{2}}{2}}=$\cacher{$\sqrt{2}\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{4}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{4}}}$} 
donc \cacher{$\arg(1+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{4}}[2\pi]$}
\item $|\sqrt{3}+i|=2$ et $\sqrt{3}+i=2\pa{\fr{\sqrt{3}}{2}+\ud i}=$\cacher{$2\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{6}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{6}}}$} 
donc \cacher{$\arg(\sqrt{3}+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{6}}[2\pi]$}
\el



\subsection{Correspondance forme algébrique / forme trigonométrique}


Soit $z$ le complexe de forme algébrique $a+ib$ et de forme trigonométrique $r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$ alors on a d'une part

\enc{$a=$\cachegg{$r\cos\theta$}$\qquad b=$\cachegg{$r\sin\theta$}}

et d'autre part 

\enc{$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$}



Si $z$ est  \textit{non nul}, son module  $r=\sqrt{a^2+b^2}$ sera non nul également. Ainsi, nous pouvons écrire $z$ sous la forme 

\begin{center}
\begin{arrayl}
z&=& \sqrt{a^2+b^2}\pa{\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\I\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\
   &=& r\pa{\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\I\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}\\
    &=& r\pa{\cos(\theta)+\I\sin(\theta)}
\end{arrayl}
\end{center}

Nous en déduisons que 

\enc{$\cos(\theta)=$\cachegg{$\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$}$\qquad \sin(\theta)=$\cachegg{$\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$}}


Ainsi, connaissant $a$ et $b$, on peut obtenir le module et un argument de $a+\I b$. On obtiendra une mesure exacte de $\theta$ si $\cos(\theta)$ et $\sin(\theta)$ sont des valeurs connues comme $\ofr{1}{2}$, $\ofr{\sqrt{3}}{2}$, 1, etc.

Sinon, on obtiendra une valeur approchée à l'aide des touches \keystroke{COS\textsuperscript{-1}} et \keystroke{SIN\textsuperscript{-1}}, ou encore avec \keystroke{TAN\textsuperscript{-1}}. En effet, $\cos(\theta)$ étant non nul\footnote{Sinon, on sait qui est $\theta$...}, 

\enc{$\tan(\theta)=\fr{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\fr{\fr{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}{\fr{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}=$\cachegg{$\fr{b}{a}$}}

ce qui déterminera une valeur de l'argument modulo $\pi$. 



\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.6}\caption{La tangente est déterminée à $\pi$ près}
\end{center}







Il suffira ensuite de considérer le signe de $\cos(\theta)$ ou de $\sin(\theta)$ pour savoir à qui on a affaire.
















\subsection{Opérations sur les formes trigonométriques}

Soit $z=r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$ et $z'=r'\pa{\cos\theta'+i\sin\theta'}$,  alors 
$$zz'=rr'\cro{\pa{\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta'}+i\pa{\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta'}}$$
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition(\vref{addi}), vous en déduisez que 
$$zz'=z=rr'\pa{\cos\pa{\theta+\theta'}+i\sin\pa{\theta+\theta}'}$$

Ainsi, nous arrivons au résultat capital 

\enc{$\arg(zz')=$\cachegg{$\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$}}



Cela va VOUS permettre de démontrer les propriétés suivantes avec un peu d'astuce et de patience


\begin{figure}
  \begin{Propriete}[Propriétés algébriques des arguments]
    \bel
\item $\arg(zz')=$\cacheg{$\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$}
\item $\arg(z^n)=$\cacheg{$n\arg(z)\,[2\pi]$}
\item $\arg\pa{\fr{1}{z}}=$\cacheg{$-\arg(z)\,[2\pi]$}
\item $\arg\pa{\fr{z}{z'}}=$\cacheg{$\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$}
\item $\arg(\overline{z})=$\cacheg{$-\arg(z)\,[2\pi]$}
\item $\arg(-z)=$\cacheg{$\pi+\arg(z)\,[2\pi]$}
\el
    \end{Propriete}
  \end{figure}


En particulier, la formule concernant $z^n$ nous permet d'écrire


\begin{figure}
  \begin{Theoreme}[Formule de Moivre]
    \begin{center}
     $\pa{\cos \theta+j\sin\theta}^n= $\cacheg{$\cos(n\theta)+j\sin(n\theta)$}
    \end{center}
    \end{Theoreme}
  \end{figure}




Nous nous rendons ainsi compte que 

\enc{Les formes trigonométriques sont adaptés aux produits de complexes}
\enc{Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes}



\section{FORME EXPONENTIELLE}

\subsection{Pourquoi cette notation}

Notons f la fonction définie sur $\bbr$ par $f(x) = cos x + j sin x$. C'est une fonction un peu spéciale puisqu'elle est
définie sur $\bbr$ mais est à valeurs dans $\bbc$. En particulier f(0) = cos 0 + j sin 0 = 1
Je vous demande à présent un petit effort d'imagination : on peut supposer que f est dérivable sur $\bbr$ en considérant
j comme un coefficient quelconque et en extrapolant les formules de dérivations des fonctions à valeurs réelles.
Cela donne :

\[f'(x)=-\sin(x)+j\cos(x)\]

Essayons de faire le lien avec $f(x)$ : on a $f'(x)=j($\cacher{$j\sin(x)+\cos(x)$}$)=$\cacher{$jf(x)$}. Oui et alors ? 

Récapitulons : $f$ vérifie $f'=jf$ avec $f(0)=1$. Ça ne vous rappelle rien~?

Ciel ! Bon sang~! mais c'est bien sûr  : la fonction exponentielle~! On avait $f'=kf$ et $f(0)=1$ et
on écrivait $f(x)=\E^{kx}$.  Tout ceci pour dire qu'il n'est pas  choquant d'écrire, par convention,
que $f(x)=\E^{jx}$


\begin{figure}
  \begin{Definition}[Notation exponentielle]
    On convient d'écrire que, pour tout réel $x$~:

\[\E^{jx}=\cos(x)+j\sin{j}\]
    \end{Definition}
  \end{figure}



  \begin{figure}
    \begin{Idee}{Retrouver les formules d'addition}
      Les  formules d'addition(\vref{addi})  sont très  faciles à  retrouver en  utilisant  la forme
      exponentielle.

 En
      effet, $\E^{j(a+b)}=\E^{ja}\E^{jb}$ donc

      \begin{center}
        $\cos{a+b}+j\sin(a+b)=$\cacheg{$(\cos(a)+j\sin(a))(\cos(b)+j\sin(b))=(\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b))+j(\cos(a)\sin(b)+\cos(b)\sin(a))$}
      \end{center}
Alors, par unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe on obtient~:

  $\cos(a+b)=$\cacheg{$\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$}

 et 

$\sin(a+b)=$\cacheg{$\cos(a)\sin(b)+\cos(b)\sin(a)$}

      \end{Idee}
    \end{figure}


\subsection{Formules d'Euler et applications}


Comme                          $\E^{j\theta}=\cos(\theta)+j\sin(\theta)$                          et
$\E^{-j\theta}=$\cacher{$\cos(\theta)+j\sin(\theta)$}, on obtient 


\begin{figure}
  \begin{Propriete}[Formules d'Euler]
    $\cos(\theta)=$\cacheg{$\dfrac{\E^{j\theta}+\E^{-j\theta}}{2}\qquad$}  $\sin(\theta)=$\cacheg{$\dfrac{\E^{j\theta}-\E^{-j\theta}}{2j}$}
    \end{Propriete}
  \end{figure}

Cette formule nous servira beaucoup dans le calcul\dots d'intégrales (!?). Nous chercherons en effet
à \emph{linéariser} des expressions comme $\cos^3(x)$, c'est-à-dire à l'écrire sans utiliser de puissances.


\begin{figure}
  \begin{Exemple}[Linéarisation]
    Pour linéariser  $\cos^3(x)$, il suffit  de connaître une  formule d'Euler et  savoir développer
    $(a+b)^3$.

D'une part $\cos(x)=$\cacheg{$\dfrac{\E^{jx}+\E^{-jx}}{2}$}

D'autre part $(a+b)^3=$\cacheg{$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$}

Il suffit de combiner ces résultats...

\vspace{5cm}

    \end{Exemple}
  \end{figure}

\section{COMPLEXES ET \'ELECTRONIQUE}


\subsection{Somme de deux grandeurs sinusoïdales}

On considère la situation suivante :

\begin{center}
\includegraphics{LoiMaille.1}\caption{Loi des n\oe uds}
\end{center}

Le courant initial $i$ et les trois courants résultants $i_1$ et $i_2$ ont la même pulsation $\o$.

Si $i_k=\widehat{I_k}\sin(\o t+\f)$, alors, en notant $I_k$ la valeur efficace\footnote{Nous apprendrons à la calculer quand nous aurons étudié le calcul intégral} de $i_k$  on a \[\underline{I_k}=\cro{I_k,\f}=I_k\pa{\cos \f+{\rm j}\sin\f}\]

avec $\widehat{I_k}=\sqrt{2}I_k$

La \textit{loi des n\oe uds} nous dit que, à chaque instant $t$, $i(t)=i_1(t)+i_2(t)$.

Il est temps à présent de se souvenir d'une petite formule de trigo :

\[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\]

Vous pouvez alors montrer que, d'une part

\[i_1(t)+i_2(t)=\pa{\sqrt{2}\,I_1\cos\f_1+\sqrt{2}\,I_2\cos\f_2}\sin(\o t)+\pa{\sqrt{2}\,I_1\sin\f_1+\sqrt{2}\,I_2\sin\f_2}\cos(\o t)\]

et d'autre part

\[i(t)=\pa{\sqrt{2}I\,\cos\f}\sin(\o t)+\pa{\sqrt{2}\,I\sin\f}\cos(\o t)\]

puisque la relation $i(t)=i_1(t)+i_2(t)$ est vraie à chaque instant, elle est donc vraie en particulier au temps $t=0$, d'où

\[ \sqrt{2}\,I\sin\f= \sqrt{2}\,I_1\sin\f_1+\sqrt{2}\,I_2\sin\f_2 \]

(pourquoi ?) et en $t=\ofr{\pi}{2\o}$ on obtient


\[ \sqrt{2}\,I\cos\f= \sqrt{2}\,I_1\cos\f_1+\sqrt{2}\,I_2\cos\f_2 \]



Vous pouvez alors expliquer pourquoi 




\enc{$\underline{I_{\textcolor{0.8white}{0}}}=\underline{I_1}+\underline{I_2}$ }

dans le cas de signaux de même pulsation. Cela va nous rendre de grands services, car il va être beaucoup plus simple d'additionner des complexes plutôt que des grandeurs sinusoïdales.



\begin{figure}
  \begin{Exemple}[]
    Considérons $i_1=2\sqrt{2}\sin\pa{\o t+\ofr{\pi}{4}}$ et $i_1=3\sqrt{2}\sin\pa{\o t-\ofr{\pi}{6}}$

Alors vous obtenez  d'une part

$\underline{I_1}=2\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{4}}+{\rm j}\sin\pa{\fr{\pi}{4}}}=\sqrt{2}\pa{1+{\rm j}}$

et d'autre part

$\underline{I_2}=$\cacheg{$3\pa{\cos\pa{-\fr{\pi}{6}}+{\rm j}\sin\pa{-\fr{\pi}{6}}}=\fr{3}{2}\pa{\sqrt{3}-{\rm j}}$}


Nous en déduisons que 

$\underline{I_{\textcolor{white}{0}}}=\underline{I_1}+\underline{I_2}=$\cacheg{$\pa{\sqrt{2}+\fr{3\sqrt{3}}{2}}+{\rm j}\pa{\sqrt{2}-\fr{3}{2}}$}

On ne reconnais pas de lignes trigonométriques connues. Nous allons donc utiliser des valeurs approchées.


$\underline{I_{\textcolor{white}{0}}}\simeq$\cacheg{$ 4,012289774-0,08578643763{\rm j}$}

Nous en déduisons que l'intensité efficace vaut environ 4,01 Ampères et une mesure de son argument -0,021 radians, et donc 

\enc{$i(t)\simeq$\cachegg{$ 4,01\sqrt{2}\sin(\o t-0,021)$}}

    \end{Exemple}
  \end{figure}




\subsection{Impédance complexe}

Vous vous souvenez que l'impédance complexe $\underline{Z}$ est définie par 

\enc{$\underline{Z}=\fr{\underline{U}}{\underline{I}}=R+{\rm j}X$}

avec R la resistance et X la réactance du dipôle..




\subsubsection{Cas d'une bobine parfaite}


On considère la situation suivante :

\begin{center}
\includegraphics{Bobine.1}\caption{Bobine parfaite}
\end{center}




Par définition de l'intensité $i(t)$, on a $u(t)=L\fr{\d i(t)}{\d t}$. Or $i(t)=I\sqrt{2}\sin\pa{\o t+\f}$, donc 

\begin{center}
\begin{arrayl} 
u(t)&=&L\fr{\d \Big(I\sqrt{2}\sin\pa{\o t+\f}\Big)}{\d t}\\
     &=&LI\sqrt{2}\o\cos\pa{\o t+\f}\\
     &=&L\o I\sqrt{2}\sin\pa{\o t+\f  +\ofr{\pi}{2}}\quad \text{car} \quad \sin\pa{x+\ofr{\pi}{2}}=\cos(x)\\
\end{arrayl}
\end{center}


Donc $\underline{U}=\cro{IL\o,\f+\ofr{\pi}{2}}$ et 


Nous en déduisons que, d'une part

\begin{center}
\begin{arrayl}
\Arg\pa{\underline{Z}}&=&\Arg\pa{\underline{U}}-\Arg\pa{\underline{I}}\\
                                         &=& \f+\ofr{\pi}{2}-\f\\
                                          &=&\fr{\pi}{2}
\end{arrayl}
\end{center}


d'autre part

\begin{center}
\begin{arrayl}
\ab{\underline{Z}}&=&\ofr{\ab{\underline{U}}}{\ab{\underline{I}}}\\
                                         &=& \ofr{IL\o}{I}\\
                                          &=&L\o
\end{arrayl}
\end{center}


Finalement, on obtient que \enc{$\underline{Z}=\cro{L\o,\fr{\pi}{2}}={\rm j}L\o$}

car je vous rappelle que $\cro{1,\fr{\pi}{2}}=\cos\pa{\ofr{\pi}{2}}+{\rm j}\sin\pa{\ofr{\pi}{2}}={\rm j}$


\sm

Montrez de même que l'impédance complexe d'un condensateur parfait de capacité C vaut $\ofr{1}{jc\o}$ sachant que par définition $i(t)=C\fr{\d u(t)}{\d t}$




\subsection{Filtre et inversion complexe}




\paragraph{ Inversion complexe}

\label{inversion} On considère l'application $f$ du plan complexe dans $\bbc$ qui à tout point $M$ d'affixe non nulle $z$ associe le
point $M'$ d'affixe $1/z$. On pose $z=x+iy$ la forme algébrique de $z$ et $x'+iy'$ celle de l'affixe $z'$ de $M'$.

\been

\item Exprimez $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
\item Quelle est l'image de $M'$ par $f$~? Déduisez-en l'expression de $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
\item Soit $D$ une droite d'équation $x=k$ avec $k\in\bbr$. Déterminez une équation de l'image de $D$ par $f$. Déduisez-en la nature de
cette image.
\item Cas particulier : déterminez l'image de la droite $\Delta$ d'équation $x=32$.

\een

\paragraph{ Un peu d'électronique : étude d'un filtre}


On bidouille un filtre en mettant deux résistances $R$ et deux condensateurs de capacité $C$ de manière rusée. Quand on applique à
l'entrée une certaine tension de pulsation $\omega$, on recueille à la sortie un nouveau signal <<~filtré~>> mais de même pulsation. Ce
filtre est caractérisé par la fonction de transfert $T$ définie par $$T(\omega)=\fr{1}{1+\fr{Z_1(\omega)}{Z_2(\omega)}}\quad
\text{avec}\quad Z_1\omega)=R+\fr{1}{jC\omega}\quad\text{et}\quad Z_2(\omega)=\fr{1}{\fr{1}{R}+jC\omega}$$ 

\begin{center}
\includegraphics[height=7cm]{filtre.1}\caption{Filtre}
\end{center}

Justifiez les valeurs trouvées de $Z_1$ et $Z_2$

Les constantes $R$ et $C$ sont
bien sûr strictement positives. En électronique, on note ${\rm j}$ le nombre vérifiant ${\rm j}^2=-1$ pour ne pas faire de confusion avec l'intensité
$i$.

\been

\item Montrez que $T(\omega)=\fr{1}{3+j\pa{RC\omega-\fr{1}{RC\omega}}}$
\item\been
\item On considère la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $$h(\omega)=RC\omega-\fr{1}{RC\omega}$$
Dressez le tableau de variation de $h$ sur $]0,+\infty[$. %en précisant les limites.
\item On considère le point $m$ d'affixe
$3+jh(\omega)$. Quel est l'ensemble $(D)$ décrit par le point $m$ lorsque $\omega$ parcourt $]0,+\infty[$~?
\item Quelle transformation associe au point $m$ le point $M$ d'affixe $Z=T(\omega)$~?
\item Déduisez-en l'ensemble $(E)$ décrit par le point $M$ quand $\omega$ parcourt $]0,+\infty[$.
\item Tracez sur un même graphique les ensembles $(D)$ et $(E)$. Vous prendrez pour unité 6cm.

Vous représenterez également le point $m_0$ d'affixe $3+{\rm j}$ et son image $M_0$ par la transformation envisagée. \een\een



\vfill

.

\break

\section{Formulaire de Trigonométrie}


\large
 \bel
 \item \textbf{Formules}\label{addi}

 $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$

$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$

$\tan (a+b)=\fr{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$, pour $a+b\neq
\fr{\pi}{2}+k\pi$, $k\in \bbz$

$\tan (a-b)=\fr{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$, pour $a-b\neq
\fr{\pi}{2}+k\pi$, $k'\in \bbz$

\sm

\item \textbf{Transformation de produits en somme}

$\cos a\cdot\cos b=\fr{1}{2}\cdot(\cos(a+b)+\cos(a-b))$

$\sin a\cdot\sin b=\fr{1}{2}\cdot(\cos(a-b)-\cos(a+b))$

$\sin a\cdot\cos b=\fr{1}{2}\cdot(\sin(a+b)+\sin(a-b))$

\sm

\item \textbf{Transformation de sommes en produits}

$\cos p+\cos q=2\cdot \cos (\fr{p+q}{2})\cdot \cos
(\fr{p-q}{2})$

$\cos p-\cos q=-2\cdot \sin (\fr{p+q}{2})\cdot \sin
(\fr{p-q}{2})$


$\sin p+\sin q=2\cdot \sin (\fr{p+q}{2})\cdot \cos
(\fr{p-q}{2})$

$\sin p-\sin q=2\cdot \sin (\fr{p-q}{2})\cdot \cos
(\fr{p+q}{2})$

\sm

\item \textbf{Formules de duplication}

$\cos (2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x$

$\sin (2x)=2\cos x\sin x $

$\tan (2x)=\fr{2\tan x}{1-\tan ^{2}x}$,
$x\neq\fr{\pi}{4}+k\fr{\pi}{2}$ pour $k\in \bbz$

Avec $t=\tan (\fr{x}{2})$, on a :

$\sin x=\fr{2t}{1+t^{2}}$ , $\cos x=\fr{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ,
$\tan x=\fr{2t}{1-t^{2}}$

\el


\vfill

.

\newpage



\begin{center}
\includegraphics[height=10cm]{cercleTrigo.1}\caption{}
\end{center}


\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.2}\caption{}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.3}\caption{}\end{flushright}\end{minipage}


\bigskip\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.4}\caption{}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{cercleTrigo.5}\caption{}\end{flushright}\end{minipage}






\end{document}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 