\input{/home/moi/Lycee/makalice}\setlength{\parindent}{0pt}

\entete{\textbf{\NomChap\ } - \NomSection }{ \NoLecon\   Aventure\  - \NomLecon}{Lycée Jean Perrin}




\begin{document}

%\tableofcontents

\setlength{\parindent}{0pt}
\LECOND{IV}{Quatrième}{LES COMPLEXES}{}{Les Complexes}{/home/moi/ts/ts/ShadokComplex.eps}




\begin{Abstract}
Les nombres complexes portent bien leur nom ! Ils interviennent partout : en algèbre, en analyse, en géométrie, en électronique, en traitement du signal, en musique, etc. Et en plus, ils n'ont jamais la même apparence : tantôt sous forme algébrique, tantôt sous forme trigonométrique, tantôt sous forme exponentielle, ... Leur succès vient en fait de deux propriétés : en travaillant sur les nombres complexes, tout polynôme admet un nombre de racines égal à son degré et surtout ils permettent  de calculer facilement en dimension 2. Ce n'est pas clair ? Alors détaillons !
\end{Abstract}

\CHAP{COURS}{Cours}
\bigskip

\SECTION{POURQUOI UTILISE-T-ON LES COMPLEXES ?}{Pourquoi utilise-t-on les complexes ?}

\SUBSECTION{Pour résoudre des équations}

\SUBSUBSECTION{Combien l'équation $\mathbf{x^3+px+q=0}$ a-t-elle de solutions dans ${\mathbf\bbr}$~?}
Historiquement, c'est en essayant de résoudre cette équation que les mathématiciens italiens du XVI\eme siècle eurent pour la première fois l'idée d'utiliser des nombres dont le carré est négatif. Nous qui vivons au XXI\eme, nous avons des outils pour dénombrer les solutions.

Considérons donc la fonction $f~:~x\mapsto x^3+px+q$ avec $p$ et $q$ des entiers. En étudiant cette fonction, nous allons vérifier qu'elle admet toujours au moins une solution réelle et même déterminer le nombre de solutions selon les valeurs de $p$ et $q$.

\sm

Comme $\Lim{-\infty}f(x)=-\infty$,  $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$ et que $f$ est continue sur $\bbr$, le Théorème des Valeurs Intermédiaires assure l'existence d'une valeur d'annulation de $f$ car elle change de signe.

\sm

Maintenant, calculons la dérivée de $f$ : $f'(x)=3x^2+p$. Quel est son signe ? Distinguons deux cas :

\begin{itemize}
\item $\mathbf{p\se0}$ : alors la dérivée est strictement positive sur $\bbr^*$, donc $f$ ne s'annule qu'une fois.
\item $\mathbf{p<0}$ : alors la dérivée s'annule en deux valeurs opposées $\pm\sqrt{-\fr{p}{3}}$ que nous appellerons $a$ et $-a$. On obtient donc le tableau de variations suivant

 \begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-a$ & &$a$&  &$+\infty$\\
\hline
Signe $f'(x)$ & &$+$ &0 &$-$&0 &$+$ & \\
\hline
 & & &$f(-a)$ & & & &$+\infty$\\
$f(x)$& &\croi& &\dec&   & \croi & \\
 &$-\infty$ & & & &$f(a)$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Maintenant, il faudrait connaître les signes respectifs de $f(-a)$ et $f(a)$ pour savoir si $f$ s'annule sur les intervalles $]-\infty,a]$, $[-a,a]$ et $[a,+\infty[$.

 On montre que $f(a)=q-2a^3$ et $f(-a)=q+2a^3$ en utilisant le fait que $f(a)=0$.
\vspace{3cm}

Alors $f(a)\cdot f(-a)=$


On peut enfin remarquer que $f(a)<f(-a)$ car 

Entamons donc la discussion
\bel
\item Si $f(a)$ et $f(-a)$ sont tous deux de même signe, c'est à dire si  $f(a)\cdot f(-a)>0$  soit encore si   $4p^3+27q^2>0$ 
alors $f$ ne s'annule qu'une seule fois.
\vspace{3cm}
\item Si 
\vspace{3cm}
\item Si 
\vspace{3cm}

\el


\end{itemize}

\SUBSUBSECTION{Résolvons ces équations}

Plaçons-nous maintenant dans le cas $4p^3+27q^2>0$. Nous savons qu'alors l'équation admet une unique solution réelle.

\break

Giralomo Cardano a  établi\footnote{Vous pouvez essayer de le prouver en posant $x=u+v$ et en résolvant un système d'équations d'inconnues $u$ et $v$ } en 1547 que cette  solution  est

$$\sqrt[3]{\fr{-q}{2}+\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\fr{-q}{2}-\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}$$

\sm

Utilisez cette formule pour trouver une solution de $(E_1)~:\
x^3-36x-91=0$ \vspace{3cm}

On voudrait faire de même avec $(E_2)~:~x^3-15x-4=0$. Un problème apparaît...

\vspace{2cm}

Admettons qu'on puisse prolonger les calculs usuels aux racines carrées de nombres négatifs en utilisant le <<~symbole~>> $\sqrt{-1}$ et utilisons quand même la formule de notre ami italien.

\vspace{3cm}

Bon, on ne semble pas très avancé. Alors un petit coup de pouce : calculez $\pa{2+\sqrt{-1}}^3$ et $\pa{2-\sqrt{-1}}^3$

\vspace{3cm}

On trouve alors une solution réelle $\al$ de $(E_2)$. Or $4p^3+27q^2$ est négatif, donc on devrait trouver deux autres racines réelles. Comme on en a une, cela veut dire qu'on peut factoriser $x^3-15x-4$ par $x-\al$ : faites-le !

\vspace{3cm}

Déduisez-en les deux autres solutions réelles.
\vspace{3cm}

Ainsi, à partir de ces travaux, les mathématiciens ont eu l'idée de prolonger les calculs algébriques aux expressions comportant des racines carrées négatives. Il faudra attendre le XIX\eme siècle pour que ces nombres  <<~qui ne faisaient que passer~>> aient droit de cité et soient étudiés rigoureusement. Il faudra attendre la même époque pour que le héros romantique Evariste Galois propose une étude théorique des équations de degré supérieur à 2, mais ceci est une autre histoire...


\SUBSECTION{Pour compter en dimension 2}

\pro Vous  savez <<~compter en dimension 1~>>, c'est à dire additionner et multiplier des nombres réels qu'on peut représenter sur la droite des réels :

\bigskip

\begin{center}
\includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/limfonc.32}
\end{center}


Faute d'outils plus rigoureux\footnote{Vous les verrez peut-être un jour...Il y a plusieurs manières de construire l'ensemble $\bbr$. Presque toutes définissent un nombre réel comme étant la limite d'une suite d'approximations par des rationnels.}, on vous a présenté en classe de seconde l'ensemble des nombres réels comme étant l'ensemble des abscisses des points de la droite orientée ci-dessus.

Vous utilisez depuis l'école  primaire ces nombres et les opérations usuelles qui leur sont associées, addition et multiplication, sans trop vous poser de questions. Rappelons quelques propriétés\footnote{Ces propriétés donnent à $\bbr$ une structure de \textit{corps} : au temps préhistorique des mes années de collège, cette notion algébrique de corps était vue en 4\eme et maintenant en math sup. On comprend pourquoi tant de vos parents ont été effrayés par les mathématiques...}:
\bel
\item L'addition possède un élément neutre noté 0 : $x+0=0+x=x$.
\item La somme de 2 réels est encore un réel.
\item Chaque réel $x$ admet un opposé $-x$ vérifiant $x+(-x)=(-x)+x=0$.
\item La multiplication possède un élément neutre noté 1 : $x\times 1=1\times x=x$
\item Le produit de deux réels est encore un réel.
\item Chaque réel différent de 0 admet un inverse $x^{-1}$ vérifiant $x\times x^{-1}=x^{-1}\times x=1$
\item La multiplication est distributive sur l'addition : $x\times(y+z)=x\times y + x\times z$.
\el

Tout ceci est bien naturel. Maintenant, on voudrait décoler de l'axe des réels et faire le même travail en dimension 2.

\tsx \c Ca veut dire qu'on travaille maintenant sur le plan tout entier ?

\pro C'est ça. On note $\bbr^2$ cet ensemble : l'ensemble des coordonnées des points du plan ! Est-ce qu'on peut définir une addition et une multiplication qui engloberaient et généraliseraient celles vues dans $\bbr$ ?

\tsx Ben pour l'addition, on fait $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$.

\pro Pourquoi pas ! Vérifions que les  propriétés de l'addition sont vérifiées.

\tsx On a un élément neutre : (0,0) car $(x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y)$.

\pro Et surtout l'élément neutre de $\bbr^2$ se situe <<~au même endroit~>> que celui de $\bbr$ : on l'a juste <<~gonflé~>> d'un deuxième zéro pour être reconnu dans $\bbr^2$.

\tsx Et pour le symétrique, on prend $(-x,-y)$ car $(x,y)+(-x,-y)=(0,0)$ l'élément neutre.

\pro En effet. Et pour la multiplication ?

\tsx \c Ca doit être pareil : $(x,y)\times(x',y')=(xx',yy')$ avec $(1,1)$ comme élément neutre.

\pro Pourquoi pas, mais dans ce cas, l'élément neutre de la multiplication dans $\bbr^2$ ne serait pas <<~au même endroit~>> que celui de $\bbr$ 



\begin{center}
\includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/limfonc.33}
\end{center}

On voudrait plutôt un élément neutre (1,0) et donc que $(x,y)\times(1,0)=(x,y)$. Je vous propose la multiplication suivante
$$(x,y)\times(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y)$$

\tsx Fichtre! Essayons :  $(x,y)\times(1,0)=(x\times1-y\times0,x\times0+y\times1)=(x,y)$. \c Ca marche.

\pro Je vous laisse vérifier que cette multiplication est distributive sur l'addition et que tout élément $(x,y)$ de $\bbr^2$ différent de $(0,0)$ admet un inverse $\pa{\fr{x}{x^2+y^2},-\fr{y}{x^2+y^2}}$.

\tsx Je suis impressionné par ce petit exposé, mais je ne vois pas trop le lien avec le $\sqrt{-1}$ du paragraphe précédent.

\pro Et bien observez $(0,1)$ et élevez le au carré.

\tsx Allons-y :  $(0,1)\times (0,1)=(0-1,0+0)=(-1,0)$, bon et alors ?
\pro Alors $(-1,0)$, c'est le réel $-1$ <<~gonflé~>>. Donc $\sqrt{-1}$ a un <<~représentant~>> dans $\bbr^2$. Dans le plan, il correspond au point de coordonnées $(0,1)$. Et donc nous allons pouvoir calculer avec ce fameux nombre $\sqrt{-1}$ assez naturellemnt en utilisant les opérations décrites précédemment.

\tsx Naturellement, c'est beaucoup dire ! C'est un peu compliqué comme multiplication.

\pro Je vous l'accorde.  C'est pourquoi nous allons adopter une autre tactique. \`A chaque élément $(x,y)$ de $\bbr^2$ nous allons faire correspondre un nombre qu'on qualifiera de \textit{complexe}.

L'idée vient de l'observation \textit{intuitive}\footnote{Les $\curvearrowright$ renvoient à une notion extrêmement importante et rigoureuse : la notion d'\textit{isomorphisme}. Deux ensembles sont isomorphes lorsqu'il existe une bijection entre les deux et que cette bijection <<~conserve~>> les opérations. Cela permet de travailler \textit{à isomorphisme près} sur un ensemble compliqué en le remplaçant par un ensemble isomorphe plus approprié à la situation. C'est ce qui se passe entre $\bbr^2$ et $\bbc$}   :  <<~ $(x,y)\curvearrowright x\cdot(1,0)+y\cdot (0,1)\curvearrowright x\times 1+y\times \sqrt{-1}\curvearrowright x+y\sqrt{-1}$~>>


Nous allons même donner un nom à ce $\sqrt{-1}$ : appelons-le $i$ pour qu'il fasse moins peur. Ainsi nous avons les correspondances

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
Le point M &$\longleftrightarrow$ & Le couple $(x,y)$ & $\longleftrightarrow$ & Le nombre complexe $x+iy$\\
$\updownarrow$ & &  $\updownarrow$ & & $\updownarrow$ \\
Le plan $\PR$ & $\longleftrightarrow$ & $\bbr^2$ &$\longleftrightarrow$ & L'ensemble des nombres complexes
\end{tabular}
\end{center}


Pour se simplifier la vie, nous allons donner un nom à cet ensemble des nombres complexes : $\bbc$..
Et maintenant observez comme les calculs deviennent faciles en prologeant les règles valables sur $\bbr$ !

\tsx Si vous le dites : $(x+iy) + (x'+iy')= x+iy+x'+iy'=(x+x')+i(y+y')$

\pro Comme nous avions $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$, mais en plus simple.

\tsx Et $(x+iy)\cdot(x'+iy')=xx'+ixy'+iyx'+i^2yy'$

\pro N'oubliez pas que $i^2=-1$

\tsx Alors $(x+iy)\cdot(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+yx')$

\pro Comme nous avions $(x,y)\times (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$. 

Donc nous allons pouvoir calculer en dimension 2 en généralisant les règles de dimension 1. Nous avons juste ajouté ce nombre $i$ de carré $-1$.  En particulier, tous les nombres réels sont des nombres complexes : $\bbr\subset\bbc$. 

Nous allons pouvoir associer à chacun de ces nombres réels un point du plan et donc associer des transformations du plan à des calculs dans $\bbc$ : on va résoudre des problèmes de géométrie par le calcul.


\sm

Si vous avez compris ces relations, tout ce qui va suivre va vous paraître <<~trop~>> simple....




\SECTION{VOCABULAIRE ET PREMI\`ERES PROPRI\'ET\'ES}{Vocabulaire et premières propriétés}

Suite à  la discussion de nos deux compères : 


\ENC{\Thm\ \ L'ensemble ${\mathbf \bbc}$} {On  définit un ensemble $\bbc$ 
\bel
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\bbr$
\item contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$ 
\item tel que chaque élément $z$ de $\bbc$ peut s'écrire de manière \bf{unique} sous la forme   $$z=a+ib \quad \text{avec } a \text{ et } b \text{ des nombres réels}$$
\el}



\SUBSECTION{Forme algébrique}

Cette écriture unique est appelée \bf{forme algébrique} du réel $z$.

Le nombre $a$ est appellé \bf{partie réelle} de  $z$ et notée $\RR e(z)$

Le nombre $b$ est appellé \bf{partie imaginaire} de  $z$ et notée $\IR m(z)$


\pstribox{!}\  $\IR m(z)$ est un nombre réel.

\SUBSECTION{\`A quoi sert l'unicité de la forme algébrique ?}

Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat $ 2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0$ avec $x$ et $y$ des réels.  Et bien le membre de gauche est une forme algébrique puisque de la forme réel + $i\cdot$réel. Or la forme algébrique de 0 est $0+i\cdot0$. 

Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles ( bienvenue dans la deuxième dimension... ) et donc 

$$ 2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x+3y-5=0\\ 7x-32y+1=0\end{cases}$$

\SUBSECTION{Le plan complexe}

Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu'on munit d'un repère $\pa{O,\ve{e_1},\ve{e_2}}$

\des{limfonc.34}{5}


\`A tout nombre complexe $z=a+ib$ on associe le point $M$ de coordonnées $(a,b)$ qu'on  appelle \bf{image} de complexe $z=a+ib$. On le note souvent $M(z)$.

Inversement, à tout point $M$ du plan de coordonnées $(a,b)$, on associe son \bf{affixe} $z=a+ib$  qu'on note souvent $z_M$.

Enfin,  à tout vecteur $\ve{u}=a\ve{e_1}+b\ve{e_2}$ de coordonnées $(a,b)$ dans la base $\pa{\ve{e_1},\ve{e_2}}$  est associé  une affixe $z_{\ve{u}}=a+ib$


\SUBSECTION{Premiers calculs géométriques}

\bel

\item Soient $\ve{u}$ et $\ve{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(a,b)$ et $(a',b')$, alors  $\ve{u}+\ve{v}=(a+a')\ve{e_1}+(b+b')\ve{e_2}$, donc 

\enc{$z_{\ve{u}+\ve{v}}=z_{\ve{u}}+z_{\ve{v}}$}



\item De même, si $\la$ est un nombre réel 


\enc{ $z_{\la \ve{u}}=\la z_{\ve{u}}$}

\item Alors, si  $I$ est le \bf{milieu} du segment $[A,B]$, on a

\enc{ $z_I=\ud(z_A+z_B)$}

\item Plus généralement, si $G$ est le barycentre du système $\Big\{(A_1,\al_1),(A_2,\al_2),\cdots,(A_n\al_n)\Big\}$ alors 

\enc{$z_G=\fr{\al_1z_{A_1}+\al_2z_{A_2}+\cdots \al_nz_{A_n}}{\al1+\al2+\cdots\al_n}$}

\item Pour tous points $A$ et $B$ 

\enc{$z_{\ve{AB}}=z_B-z_A$}

\el


\SUBSECTION{Conjugué d'un complexe}

\ENC{\Def\ \ Conjugué}{On appelle conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ le nombre $$\overline{z}=a-ib$$}




Géométriquement cela donne 

\des{limfonc.35}{4}

Je vous laisse prouver les propriétés immédiates suivantes

\ENC{\Prop\ \ Propriétés des conjugués}{\bel
\item $M(z)$ et $M'(\overline{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe $(O,\ve{e_1})$
\item $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
\item $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\ \, \overline{z_2}$
\item $\overline{\overline{z}}=z$
\item $z\in\bbr\Longleftrightarrow z=\overline{z}$
\item $z\in i\bbr\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$
\item $\RR e(z)=\ud(z+\overline{z})$
\item $\IR m(z)=\ud(z-\overline{z})$
\item Si $z=a+ib$, alors $z\overline{z}=a^2+b^2$
\el}


\SUBSECTION{\`A quoi servent les conjugués ?}


\SUBSUBSECTION{\`A montrer qu'un complexe est un réel}

En effet, si on arrive à montrer que $\overline{z}=z$, alors on en conclut que $z$ est réel.

\SUBSUBSECTION{\`A rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques}

En effet, $$z\cdot\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2$$

Ainsi, pour obtenir la forme algébrique de l'inverse de $2+i$,  $$\fr{1}{2+i}=\fr{1}{2+i}\times\fr{2-i}{2-i}=\fr{2+i}{4+1}=\fr{2}{5}+\fr{1}{5}i$$

\SUBSECTION{Module d'un nombre complexe}

\ENC{\Def\ \ Module}{Le module du complexe  $z$ est le réel positif noté $|z|$ tel que $$|z|=\sqrt{z\ \,\overline{z}}$$}

Quelques remarques \bel
\item Cette définition en est bien une car $z\ \,\overline{z}=a^2+b^2$ d'après notre étude sur les conjugués. 
\item Si $a$ est un réel, $|a|=\sqrt{a\ \,\overline{a}}=\sqrt{aa}=\sqrt{a^2}$ car $\overline{a}=a$. Donc le module de $a$ est bien la valeur absolue de $a$ et notre notation est cohérente.

La notion de module dans $\bbc$ généralise donc celle de valeur absolue dans $\bbr$.
\el
\SUBSUBSECTION{Interprétation géométrique}

\des{limfonc.36}{4}

Nous venons de voir que, si $z=a+ib$, alors 

\enc{$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$}

Or, qu'est-ce que $\sqrt{a^2+b^2}$ si ce n'est la norme du vecteur $\ve{OM}$ ou encore la longueur $OM$.

\enc{$\ab{z_M}=\Vert\ve{OM}\Vert=OM\qquad \ab{z_{\ve{u}}}=\Vert \ve{u}\Vert$}


\SUBSUBSECTION{Propriétés des modules}

Je vous laisse prouver les propriétés suivantes

\ENC{\Prop\ \ Modules}{\bel
\item $\ab{\overline{z}}=\ab{z}$
\item $\ab{z}=0\ssi  z=0$
\item $\ab{z_1\cdot z_2}=\ab{z_1}\cdot\ab{z_2}$
\item $\RR e(z)\ie \ab{z}$
\item $\IR m(z)\ie \ab{z}$
\el}

La propriété suivante mérite une petite aide à la démonstration

\ENC{\Prop\ \ Inégalité triangulaire}{$$\ab{z_1+z_2}\ie\ab{z_1}+\ab{z_2}$$}

C'est à dire, pour aller de Nantes à Montaigu, il est plus long de passer par Bratislava que de suivre la RN 137.

Comme il s'agit d'une démonstartion classique, nous allons la détailler. Elle pourra servir à d'autres occasions.

\sm

Comme les deux membres de l'inégalité sont positifs, il suffit donc de comparer les carrés de chaque membre.

Or $\ab{z_1+z_2}^2=\pa{z_1+z_2}\pa{\overline{z_1+z_2}}=(z_1+z_2)\pa{\overline{z_1}+\overline{z_2}}=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2$

\sm

D'autre part $\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2=\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2$

Il s'agit donc de comparer les <<~doubles produits~>>.

Or $z_1\overline{z_2} +\overline{z_1}z_2=z_1\overline{z_2}+\overline{z_1\overline{z_2}}=2\RR e\pa{z_1z_2}\ie 2\ab{z_1z_2}$ d'après une propriété ci-dessus. Donc 
$$\ab{z_1+z_2}^2=\ab{z_1}^2+\pa{z_1\overline{z_2}
+\overline{z_1}z_2}+\ab{z_2}^2\ie\ab{z_1}^2+2\ab{z_1z_2}+\ab{z_2}^2=\pa{\ab{z_1}+\ab{z_2}}^2$$


\SECTION{R\'ESOLUTION D'\'EQUATIONS DU SECOND DEGR\'E}{Résolution d'équations du second degré}

\SUBSECTION{Racine carrée d'un nombre complexe}

L'objet de cette section est de résoudre dans $\bbc$ l'équation $z^2=\al$

\SUBSUBSECTION{Racine carrée d'un nombre réel}

On suppose ici que $\al$ est un réel.


\bel
\item \boldmath $\al\se 0$\unboldmath : alors $z^2=\al\ssi (z-\sqrt{\al})(z+\sqrt{\al})=0$. Les solutions\footnote{LA solution si $\al=0$} sont donc $\pm \sqrt{\al}$

On connait : $z^2=4\ssi z=-2$ ou $z=2$

\item \boldmath $\al< 0$\unboldmath : alors $z^2=\al\ssi (z-i\sqrt{-\al})(z+i\sqrt{-\al})=0$. Les solutions sont donc $\pm i\sqrt{-\al}$

C'est la nouveauté : $z^2=-4\ssi z=-2i$ ou $z=2i$

\el


\SUBSUBSECTION{Racine carrée d'un complexe non réel}

Les choses se compliquent ! Nous allons traiter un exemple pour ne pas vous faire (trop) peur. 


Cherchons les racines carrées de $4+3i$, à savoir les nombres
$a+ib$ tels que $(a+ib)^2=a^2-b^2+2iab=4+3i$. Par unicité de la forme algébrique on obtient 

$\bsyc a^2-b^2&=&4\\a^2+b^2&=&5\\2ab&=&3\esyc$

Ainsi $a^2=9/2$ et $b^2=1/2$, donc $a=\pm3\sqrt{2}/2$ et
$b=\pm\sqrt{2}/2$, or $2ab=3$, donc $a$ et $b$ sont de même signe.

Les solutions sont donc $\fr{\sqrt{2}}{2}(3+i)$ et
$-\fr{\sqrt{2}}{2}(3+i)$



\SUBSECTION{Résolution de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec} \ a,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels}

C'est comme en 1\ere : $ax^2+bx+c=0\ssi a\cro{\pa{x+\fr{b}{2a}}^2-\fr{b^2-4ac}{4a^2}}=0\ssi \pa{x+\fr{b}{2a}}^2=\fr{b^2-4ac}{(2a)^2}$

Tout dépend donc du signe de $b^2-4ac$, puis on utilise les résultats de la section précédente.

\ENC{\Thm\ \ Résolution de \boldmath$ax^2+bx+c=0\quad \text{avec} \ a,\ b \ \text{ et }\ c$ \unboldmath des réels}{L'équation $ax^2+bx+c=0$ admet toujours des solutions sur $\bbc$. \\
Notons $\Delta=b^2-4ac$ le \textbf{discriminant} de l'équation \bel
\item Si $\Delta=0$, il existe une unique solution $x=-\fr{b}{2a}$
\item Si $\Delta>0$, il existe deux solutions réelles  $x=\fr{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
\item Si $\Delta<0$, il existe deux solutions complexes conjuguées $x=\fr{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$\el}


Vous serez amenés au hasard d'exercices à résoudre des équations à coefficients complexes, mais on n'attend de vous aucun savoir-faire particulier : vous serez guidés pas à pas.


\SECTION{FORME TRIGONOM\'ETRIQUE}{Forme trigonométrique}

\SUBSECTION{Argument d'un complexe non nul}

\SUBSUBSECTION{Forme trigonométrique}

Vous vous souvenez de la correspondance entre $\bbc$ et le Plan. Nous avions privilégié les coordonnées cartésiennes d'un point. On aurait pu utiliser tout aussi bien ses \bf{coordonnées polaires}. Le Plan a cette fois besoin d'être orienté (il le sera implicitement à partir de maintenant).

\des{limfonc.37}{4} 

Ainsi, $(r,\theta)$ étant le couple de coordonnées polaires de l'image $M$ de $z$, on a $z=r\cos\theta+ir\sin\theta$ déterminé de manière unique, car c'est en fait une forme algébrique déguisée : on l'appelle \bf{forme trigonométrique} du complexe $z$.

\enc{$z=r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$}

\SUBSUBSECTION{Congruence modulo 2$\pi$}

Vous rencontrerez souvent\footnote{Cela doit titiller la mémoire des spécialistes} la notation $x\equiv y[2\pi]$ qui se lit <<~$x$ est  congru à $y$ modulo 2$\pi$~>>. Elle veut simplement dire que $x-y$ est un multiple de $2\pi$, c'est à dire qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $x-y=k\times 2\pi$. Retenons

\enc{$x\equiv y[2\pi]\ssi \text{ il existe } k\in\bbz \text{ tel que } x=y+2k\pi$}


Par exemple, vous savez que $\fr{\pi}{3}\equiv \fr{4\pi}{3}[2\pi]$. 

\SUBSUBSECTION{Mesure d'un angle de vecteurs}

Nous n'avons pas les moyens de définir <<~proprement~>> les angles de vecteurs. Nous n'en avons qu'une définition intuitive. Ce qui nous intéresse, c'est que $\theta$ est UNE mesure en radians de l'angle de vecteurs $\pa{\ve{e_1},\ve{OM}}$. UNE mesure, car elle est définie modulo 2$\pi$. Et bien cette mesure sera UN argument du complexe $z$, qu'on notera $\arg z$.
On retiendra

\enc{$\arg z\equiv \theta[2\pi]$}

Par exemple, $\arg 32\equiv 0[2\pi]$, $\arg 32 i\equiv \fr{\pi}{2}[2\pi]$.

\SUBSUBSECTION{Relations entre forme algébrique et forme trigonométrique}

Soit $z$ le complexe de forme algébrique $a+ib$ et de forme trigonométrique $r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$ alors on a d'une part

\enc{$a=r\cos\theta\qquad b=r\sin\theta$}

et d'autre part 

\enc{$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$}

\SUBSUBSECTION{Des formes trigonométriques de référence}

\bel

\item $1=\cos 0+i\sin 0$  donc $|1|=1$ et $\arg(1)\equiv 0[2\pi]$
\item $i=\cos\pa{\fr{\pi}{2}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{2}}$  donc $|i|=1$ et $\arg(i)\equiv\pa{\fr{\pi}{2}}[2\pi]$
\item $|1+i|=\sqrt{2}$ et $1+i=\sqrt{2}\pa{\fr{\sqrt{2}}{2}+i\fr{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{4}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{4}}}$ 
donc $\arg(1+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{4}}[2\pi]$
\item $|\sqrt{3}+i|=2$ et $\sqrt{3}+i=2\pa{\fr{\sqrt{3}}{2}+\ud i}=2\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{6}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{6}}}$ 
donc $\arg(\sqrt{3}+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{6}}[2\pi]$
\el

\SUBSECTION{Opérations sur les formes trigonométriques}

Soit $z=r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$ et $z'=r'\pa{\cos\theta'+i\sin\theta'}$,  alors 
$$zz'=rr'\cro{\pa{\cos\theta\cos\theta'-\sin\theta\sin\theta'}+i\pa{\sin\theta\cos\theta'+\cos\theta\sin\theta'}}$$
Vous qui connaissez parfaitement vos formules d'addition, vous en déduisez que 
$$zz'=z=rr'\pa{\cos\pa{\theta+\theta'}+i\sin\pa{\theta+\theta}'}$$

Ainsi, nous arrivons au résultat capital 

\enc{$\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$}



Cela va VOUS permettre de démontrer les propriétés suivantes avec un peu d'astuce et de patience

\ENC{\Prop\ \ Propriétés algébriques des arguments}{\bel
\item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$
\item $\arg(z^n)=n\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg\pa{\fr{1}{z}}=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg\pa{\fr{z}{z'}}=\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$
\item $\arg(\overline{z})=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg(-z)=\pi+\arg(z)\,[2\pi]$
\el}


Nous nous rendons ainsi compte que 

\enc{Les formes trigonométriques sont adaptés aux produits de complexes}
\enc{Les formes algébriques sont adaptées aux sommes de complexes}

Mais revenons à nos premières amours : calculer en géométrie...





\SECTION{LES OBJETS G\'EOM\'ETRIQUES ET LES COMPLEXES}{Les objets géométriques et les complexes}

\SUBSECTION{De l'objet au complexe}

\SUBSUBSECTION{Comment caractériser un cercle ?}

Le cercle de centre $A$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points situés à la distance $R$ de $A$. Il est facile de traduire simplement  cela en langage complexe...

\enc{$M(z)\in\CR(A,R)\ssi \ab{z-z_A}=R$}


\SUBSUBSECTION{Comment caractériser un triangle isocèle ?}

C'est encore une histoire de distance, donc de module :  $ABC$ est isocèle de sommet principal $A$ si et seulement si $AB=AC$ donc 

\enc{$ABC$ isocèle de sommet principal $A$ $\ssi \ab{z_B-z_A}=\ab{z_C-z_A}\ssi \ab{\fr{z_B-z_A}{z_C-z_A}}=1$}


\SUBSUBSECTION{Comment caractériser un triangle rectangle ?}

On peut encore parler distance grâce au théorème de Pythagore 
\enc{$|z_C-z_B|^2=|z_B-z_A|^2+|z_C-z_A|^2$}

ou angle droit : mais c'est l'angle géométrique qui nous intéresse, donc nous travaillerons modulo $\pi$
$$\pa{\ve{AB},\ve{AC}}=\pa{\ve{AB},\ve{e_1}}+\pa{\ve{e_1},\ve{AC}}=-\pa{\ve{e_1},\ve{AB}}+\pa{\ve{e_1},\ve{AC}}=-\arg\pa{z_{\ve{AB}}}+\arg\pa{z_{\ve{AC}}}=\arg\pa{\fr{z_{\ve{AC}}}{z_{\ve{AB}}}}=\arg\pa{\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}}$$

\enc{$\pa{\ve{AB},\ve{AC}}\equiv\fr{\pi}{2}\,[\pi]\ssi \arg\pa{\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}}\equiv\fr{\pi}{2}\,[2\pi]$}



\SUBSUBSECTION{Comment caractériser les différents quadrilatères ?}


Petite révision de collège...

\des{limfonc.38}{8}

qu'il vous suffira d'adapter connaissant ce qui précède.

%\SUBSUBSECTION{Comment caractériser une droite ?}





%\SUBSUBSECTION{Comment caractériser certaines applications du plan ?}




\SUBSECTION{Du complexe à l'objet}




\SUBSUBSECTION{Que représente $z-32+5i$ ?}

 Soit $A$ le point d'affixe $32-5i$ et $M$ le point d'affixe $z$, alors
 $z-32+5i=z_M-z_A=z_{\ve{AM}}$



\SUBSUBSECTION{Comment interpréter $|z-32+5i|=3$ ?}

D'après ce qui précède, on aboutit à $AM=3$ : il s'agit donc du cercle de centre $A$ et de rayon 3.

\SUBSUBSECTION{Comment interpréter $|32+iz|=5$ ?}

 $|32+iz|=|i(-32i+z)|=|i|\times|z-32i|=|z-32i|=BM$ avec $M$ le
 point d'affixe $z$ et $B$ le point d'affixe $32i$. On retombe donc sur un cercle.


\SUBSUBSECTION{Comment interpréter $|z-a|=|z-b|$ ?}

Soit $M$ d'affixe $z$, $A$ d'affixe $a$ et $B$ d'affixe $b$. Alors
l'égalité se traduit par $AM=BM$, donc $M$ est équidistant de $A$
et $B$, donc $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$.

\SUBSUBSECTION{Que se cache-t-il derrière le quotient $\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ ?}

Il suffit de remarquer que $\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\fr{z_{\ve{AC}}}{z_{\ve{AB}}}$. Donc vous utiliserez le fait que \bel
\item $\arg(\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A})=(\ve{e_1},\ve{AC})-(\ve{e_1},\ve{AB})=(\ve{AB},\ve{AC})$
\item $\left|\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=\fr{AC}{AB}$
\el



Dans d'autres cas, vous serez  confrontés à l'interprétation d'une égalité du style $\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\la$ qui se traduit par
$z_{\ve{AC}}=\la z_{\ve{AB}}$, donc \bel 
\item si $\la\in\bbr$, alors $\ve{AC}=\la\ve{AB}$ et donc $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\item si $\la\in i\bbr$, $z_{\ve{AC}}=\pm|\la|iz_{\ve{AB}}$ et donc $\arg\pa{z_{\ve{AC}}}\equiv\pm\fr{\pi}{2}+\arg\pa{z_{\ve{AC}}}\,[2\pi]$ c'est à dire $(AC)\bot(AB)$ 
\item si $\la=\pm i$, alors le triangle $ABC$ est isocèle et rectangle en $A$ 
%\item si $\la=e^{\pm i\pi/3}$, alors le triangle ABC est équilatéral

\el



\SUBSUBSECTION{Comment interpréter $\pa{MA,MB }equiv\fr{\pi}{2}[\pi]$ ? }
%$\pa{\ve{MA},\ve{MB}} $}%\

On  déduit de cette relation que le triangle
$AMB$ est rectangle en $M$, donc que $M$ décrit le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$.


\SUBSECTION{En attendant la deuxième partie du cours...}


\sm Soit $z=3+2i$, alors $-1\times z=-3-2i$ et $i\times
z=3i+2i^2=-2+3i$. Notons $M$, $M'$ et $M''$ les points
d'\textbf{affixes} respectives $z$, $-z$ et $iz$

\des{limfonc.39}{4}

Ô monde merveilleux~! Une multiplication par $i$ se traduit par un
quart de tour, une multiplication par $-1$ se traduit par un
demi-tour, deux multiplications successives par $i$, c'est à dire
une multiplication par $i^2=-1$ se traduit bien par deux quarts de
tour, $i.e.$ un demi tour. Mais ceci est une autre histoire...




\CHAP{EXERCICES}{Exercices}

\SECTION{EXERCICES <<~ORIGINAUX~>>}{exercices <<~originaux~>>}

\SUBSECTION{ Problème ouvert~:~calcul de $\cos(\pi/8)$ et
$\sin(\pi/8)$}

En utilisant les racines carr\'ees de $1+i$, trouver une m\'ethode
pour obtenir une formule donnant $\cos(\pi/8)$ et $\sin(\pi/8)$.


Trouvez au moins deux autres méthodes de calcul en utilisant des
formules trigonométriques.


\SUBSECTION{Du dessin aux formules}


Caract\'erisez les nombres complexes $z$ appartenant aux ensembles
suivants :

\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{/home/moi/ancienordi/ts/dessins-complexes.eps}
\end{center}


\SUBSECTION{Le crocodile se mord la queue ou comment
visualiser une multiplication complexe}

\label{croco} On voudrait comprendre <<~quel effet cela fait \`a un nombre complexe de se faire \'elever au carr\'e~>>. Pour \c{c}a, on
cherche \`a dessiner l'image du crocodile par l'application $\f$ :
$$
\begin{array}{rcl}
\bc & \rightarrow & \bc \\
 z &  \mapsto  & z^{2}.
\end{array}
$$

\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{/home/moi/ancienordi/ts/crocodile.epsi}
%\par\centerline{\hbox{\psfig{figure=croco.ps,width=6cm}}}
\par
\caption{}
%\label{wsnfig1}
\end{center}
\end{figure}
\been
\item \'Ecrivez les parties r\'eelles et imaginaires de $z^{2}$ en
fonction de celles de $z$, puis le module et l'argument de $z^{2}$
en fonction de ceux de $z$. Commentaire ?


\item Dessinez une demi-droite issue de $0$ et son image par $\f$.

\item Quelle est l'image d'un cercle centr\'e en $0$ ? Placez aussi
les images de quelques points particuliers du cercle.

\item <<~Dessinez l'image du crocodile~>>.
%
%\sq ``Comment voit-on que l'application n'est pas injective ?''
%
%\sq Dessiner l'image r\'eciproque du crocodile (attention, il y a
%un piège...).

\item (plus facile) Dessinez de m\^eme l'image du croco par  $z
\mapsto z+1+2i$, $z \mapsto (\sqrt 3 +i)z$.

\een




\SUBSECTION{Les fractales}

Les fractales sont des objets irréguliers dont l'étude a débuté il
y a une trentaine d'années. Elles interviennent dans de nombreux
domaines : modélisation des matériaux poreux et des
semi-conducteurs, description mathématique de la surface d'un
nuage, étude des mécanismes financiers, infographie, c'est à dire
création d'algorithmes efficaces pour représenter des objets sur
un écran d'ordinateur (avec un minimum de données transmises).

Nous allons étudier deux fractales simples : le tamis et le tapis
de Sierpinski.

\SUBSUBSECTION{Dessin du tamis de Sierpinski} \label{serpi}

 Considérons les trois transformations de $\bc$ dans $\bc$ suivantes :

$$T_1(z)=\fr{1}{2}z\qquad T_2(z)=\fr{1}{2}z+\fr{1}{2}\qquad
T_3(z)=\fr{1}{2}z+\fr{1}{4}+\fr{1}{2}i$$

Soit $E_0$ le triangle de sommets d'affixes 0, 1 et $1/2+i$.

\been

\item Dessiner $E_0$.

\item Dessiner $E_1=T_1(E_0)\cup T_2(E_0)\cup T_3(E_0)$

\item Dessiner $E_2=T_1(E_1)\cup T_2(E_1)\cup T_3(E_1)$

      $\qquad \vdots$
\een

Si nous voulons transmettre ces dessins informatiquement, il est
impossible de donner les coordonnées des sommets de tous les
triangles noircis du tamis puisqu'il y en a une infinité. En fait,
il suffit de donner $E_0$, $T_1$, $T_2$ et $T_3$ et le tour est
joué. C'est ce qui est utilisé sur internet.

Un autre problème : quelle est la resistance électrique du tapis~?

\SUBSUBSECTION{Dessin du tapis de Sierpinski}

$E_0$ est le carré unité.

$$ T_1(z)=\ut z \qquad T_2(z)=\ut z+\ut \qquad T_3(z)=\ut
z+\dt\qquad T_4(z)=\ut z+\dt +\ut i$$

$$T_5(z)=\ut z+\dt +\dt i \qquad T_6(z)=\ut z+\ut+\dt i\qquad
T_7(z)=\ut z+\dt i\qquad T_8(z)= \ut z+\ut i$$




\SUBSECTION{Géométrie, complexes, fonctions, électronique~: qui dit mieux~?}

\SUBSUBSECTION{ Inversion complexe}

\label{inversion} On considère l'application $f$ du plan complexe dans $\bbc$ qui à tout point $M$ d'affixe non nulle $z$ associe le
point $M'$ d'affixe $1/z$. On pose $z=x+iy$ la forme algébrique de $z$ et $x'+iy'$ celle de l'affixe $z'$ de $M'$.

\been

\item Exprimez $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
\item Quelle est l'image de $M'$ par $f$~? Déduisez-en l'expression de $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$.
\item Soit $D$ une droite d'équation $x=k$ avec $k\in\bbr$. Déterminez une équation de l'image de $D$ par $f$. Déduisez-en la nature de
cette image.
\item Cas particulier : déterminez l'image de la droite $\Delta$ d'équation $x=32$.

\een

\SUBSUBSECTION{ Un peu d'électronique : étude d'un filtre}


On bidouille un filtre en mettant deux résistances $R$ et deux condensateurs de capacité $C$ de manière rusée. Quand on applique à
l'entrée une certaine tension de pulsation $\omega$, on recueille à la sortie un nouveau signal <<~filtré~>> mais de même pulsation. Ce
filtre est caractérisé par la fonction de transfert $T$ définie par $$T(\omega)=\fr{1}{1+\fr{Z_1(\omega)}{Z_2(\omega)}}\quad
\text{avec}\quad Z_1(omega)=R+\fr{1}{jC\omega}\quad\text{et}\quad Z_2(\omega)=\fr{1}{\fr{1}{R}+jC\omega}$$ Les constantes $R$ et $C$ sont
bien sûr strictement positives. En électronique, on note $j$ le nombre vérifiant $j^2=-1$ pour ne pas faire de confusion avec l'intensité
$i$.

\been

\item Montrez que $T(\omega)=\fr{1}{3+j\pa{RC\omega-\fr{1}{RC\omega}}}$
\item\been
\item On considère la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par $$h(\omega)=RC\omega-\fr{1}{RC\omega}$$
Dressez le tableau de variation de $h$ sur $]0,+\infty[$ en précisant les limites.
\item On considère le point $m$ d'affixe
$3+jh(\omega)$. Quel est l'ensemble $(D)$ décrit par le point $m$ lorsque $\omega$ parcourt $]0,+\infty[$~?
\item Quelle transformation associe au point $m$ le point $M$ d'affixe $Z=T(\omega)$~?
\item Déduisez-en l'ensemble $(E)$ décrit par le point $M$ quand $\omega$ parcourt $]0,+\infty[$.
\item Tracez sur un même graphique les ensembles $(D)$ et $(E)$. Vous prendrez pour unité 6cm.

Vous représenterez également le point $m_0$ d'affixe $3+j$ et son image $M_0$ par la transformation envisagée. \een\een




\SECTION{DES EXERCICES DE BAC}{Des exercices de Bac}

%
%\exo \textit{trigo - ensembles de points}
%
%%\section*{Am\'{e}rique du Nord 2000}
%%\begin{center}
%%\textbf{EXERCICE 1} ( 5 points )
%%\end{center}
%
%Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal
%$\left(O;\overrightarrow{u\,},\overrightarrow{v\,}\right) $.
%\\Dans tout l'exercice $z$ est un nombre complexe non nul. \`{A}
%tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M^{\prime }$
%d'affixe ${z^{\prime }=-\frac{1}{z}}$
%puis le point $I$ milieu du segment $[MM^{\prime }]$. \\
%
%\noindent L'affixe de $I$ est donc ${\frac{1}{2}\left(
%z-\frac{1}{z}\right) }.$\\
%
%\textit{\ Note : Les questions 2,3 et 4 sont largement
%ind\'{e}pendantes.}
%
%\begin{enumerate}
%\item
%\begin{enumerate}
%\item  Donner une relation entre les modules de $z$ et $z^{\prime }$.\\
%Donner une relation entre leurs arguments.
%
%\item  Sur la figure jointe est plac\'{e} le point $M_{1}$
%d'affixe $z_{1}$ sur le cercle de centre $O$ et de rayon 2.
%Expliquer comment on peut obtenir g\'{e}om\'{e}triquement le point
%$M_{1}^{\prime }$, puis le point $I_{1}$ milieu du segment
%$[M_{1}M_{1}^{\prime }]$. Effectuer cette construction.
%\end{enumerate}
%
%\item  Pour cette question , $\theta$ est un r\'{e}el et $M$ est
%le point d'affixe $z=e^{i\theta}$.
%
%\begin{enumerate}
%\item  Calculer sous forme alg\'{e}brique l'affixe de $I$. \item
%Sur la figure jointe est plac\'{e} le point $M_2$ d'affixe $z_2$
%sur le cercle $(C)$ de centre $O$ et de rayon 1. Expliquer
%comment, en utilisant le r\'{e}sultat de la question 2. a) on peut
%obtenir g\'{e}om\'{e}triquement le point $I_2$ milieu du segment
%$[M_2M^{\prime}_2]$. Effectuer cette construction.
%
%\item  Donner (sans justification ) l'ensemble d\'{e}crit par $I$
%lorsque $M $ d\'{e}crit $(C)$.
%\end{enumerate}
%
%\item  Dans cette question, $M$ est un point du plan distinct de
%O.
%
%\begin{enumerate}
%\item  D\'{e}terminer les points $M$ du plan complexe pour
%lesquels $M$ et
%$%
%I $ sont confondus.
%
%\item  D\'{e}velopper $(z-2i)^2+3$.\newline D\'{e}terminer les
%points $M$ du plan complexe pour lesquels l'affixe de $I$ est
%$2i$.
%\end{enumerate}
%
%\item  Dans cette question, $M$ est un point du plan, distinct de
%$O$, d'affixe $z=x+iy$ ( $x$ et $y$ r\'{e}els ).
%
%\begin{enumerate}
%\item  Exprimer en fonction de $x$ et $y$ la partie r\'{e}elle et
%la partie
%imaginaire de l'affixe de $I$.%
%
%\item  D\'{e}terminer l'ensemble $A$ des points $M$ du plan pour
%lesquels $I $ appartient \`{a} l'axe des abscisses.
%
%\item  D\'{e}terminer l'ensemble $B$ des points $M$ du plan pour
%lesquels $I$ appartient \`{a} l'axe des ordonn\'{e}es.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(4,4)
%\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm} \psline(-2.5,0)(2.5,0)
%\psline(0,-2.5)(0,2.5) \psline{->}(0,0)(0,1) \psline{->}(0,0)(1,0)
%\pscircle{1.5} \pscircle{3} \uput[dl](0,0){O}
%\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
%\psdots[dotstyle=+,dotsize=5pt 5](-.9397,-.3420)
%\psdots[dotstyle=x,dotsize=5pt 5](1.5321,1.2856)
%\uput[dl](-.9397,-.3420){$M_2$} \uput[ur](1.5321,1.2856){$M_1$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
% \end{document}
%% Ce qui suit est extrait de ts20003
% \documentclass[11pt,a4paper]{article}
% \usepackage[francais]{babel}
% \usepackage[T1]{fontenc}
% \usepackage[latin1]{inputenc}
% \usepackage{amsmath,amssymb}
% \usepackage{aeguill}
% \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
% \newcommand{\R}{\mathbb{R}}
% \newcommand{\C}{\mathbb{C}}
%
% \pagestyle{empty}
%  \setlength{\textwidth}{18cm} % permet de fixer la largeur du texte
%  \setlength{\textheight}{29.5cm} %permet de fixer la hauteur du texte
% \setlength{\oddsidemargin}{-1cm} %permet de définir la marge gauche des
%pages impaires   %
% \setlength{\evensidemargin}{-1cm} %permet de définir la marge gauche des
%pages paires
%

%
%\vspace*{-3cm} \framebox[18cm][c]{ Term S$_2$ \hfill
%{\Large{Contrôle N°3}} \hfill Jeudi 18 novembre 1999 \hfill 2h}
%\vspace*{4cm}




\exo \textit{Formes alg., trigo., ensembles de points}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ;
\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ direct. Soit $\C_1$
l'ensemble $\bc \setminus \{-i;i\}$ et $f$ la fonction définie sur
$\C_1$ par:
$$f(z)=\frac{z}{z²+1}$$
On appelle A et B les deux points du plan d'affixes respectives
$i$ et $-i$.

\begin{enumerate}
\item Soit $z_1$ et $z_2$ les racines dans $\bc$ de l'équation :
$f(z)= \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Calculer $z_1$ et $z_2$ sous forme algébrique, puis sous forme
trigonométrique. \item On pose $z=x+iy \;,\; f(z)=X+iY \textrm{
avec } x,y,X,Y$ des nombres réels.

Calculer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y$ . \item Déterminer l'ensemble E$_1$ des points M d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit réel.
\item Déterminer l'ensemble E$_2$ des points M d'affixe $z$ tels que $\arg{[f(z)]}=\frac{\pi}{2}[\pi]$.
\end{enumerate}
%
%
%\exo
%
% \begin{enumerate}
%  \item Soit la fonction $f$ de $\bbr$ dans $\bbr$ définie par : $x \mapsto
%f(x)=-x+\sqrt{x²+8}.$
%    \begin{enumerate}
%    \item Démontrer que f est décroissante sur $\bbr$.
%    \item \'Etudier les limites de $f$ au voisinage de l'infini et
%démontrer que
%      la courbe (C) représentative de $f$ admet pour asymptotes la droite
%d'équation $y=-2x$ et
%      l'axe des abscisses.
%    \item   Dresser le tableau de variation de $f$.
%    \item Tracer (C) dans un repère orthonormé. (On prendra 2cm pour unité
%graphique.)
%    \item Démontrer que pour tout $x$ de l'intervalle $[1 ;2]$ on a :
%      $1 \leqslant f(x) \leqslant 2 $
%    \item Démontrer que si $ x \in [1;2]$ alors $ |f'(x)| \leqslant
%\frac{2}{3}$ .( On pourra
%      étudier les variations de $f'$.)
%     \end{enumerate}
%\item On note U la suite telle que $u_0=1$ et pour tout $n$ de
%$\bbn$ :
%$$u_{n+1}=-u_n+\sqrt{u_n²+8}$$
%\begin{enumerate}
%\item En utilisant la question 1(e), montrer par récurrence que,
%pour tout entier $n$ , $1 \leqslant n \leqslant 2$ . \item Dans le
%même repère que la courbe (C), tracer la droite d'équation $y=x$ ,
%puis placer les valeurs $u_0\;,\;u_1\;;\;u_2\textrm{ et }u_3$ .
%
%En utilisant les valeurs trouvées sur le graphique, répondre, sans
%faire de calcul, aux questions suivantes :
%\begin{itemize}
%\item U est-elle croissante ? \item U est-elle décroissante ?
%\item U semble-t-elle admettre une limite ?
%\end{itemize}
%\item En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer
%que pour tout entier naturel $n$ :$$|u_{n+1}-l|\leqslant
%\frac{2}{3} |u_n-l| .$$ En déduire que : $$|u_n-l| \leqslant
%\left( \frac{2}{3} \right)^n\,.$$ \item Prouver que la suite U
%converge vers $l$ . \item Déterminer une valeur $n_0$ telle que si
%$n>n_0$ , alors $u_n$ est une valeur approchée de $l$ à $10^{-3}$
%près.
%\end{enumerate}
%
%  \end{enumerate}
%\end{description}


% \end{document}
%
%
%
%
%
%
%
%
%

%% Ce qui suit est extrait de ts200011
% \documentclass[11pt]{article}
% %\usepackage{tex4ht}
% \usepackage{/home/eric/monstyle}
% \usepackage{aeguill}
% \chead{\ds{Term S$_1$}{1}{2 heures}{Mercredi 27 Septembre 2000}}
%\begin{description}
% \item[Exercice 1 {\small ( points)}] $\ $\\
%   \begin{enumerate}
%   \item Résoudre dans \C l'équation : $$ z²-2z+26=0$$
%     On notera $z_1$ la solution dont la partie imaginaire est positive
%     et $z_2$ l'autre solution.
%   \item Etant donné un complexe $z$, on considère le complexe :
%     $$f(z) = \frac{\overline{z}}{2-i}.$$
%     \begin{enumerate}
%     \item On pose $z=x+iy$ où $x$ et $y$ désignent deux réels.\\
%       Calculer en fonction de $x$ et $y$ la partie réell $X$ et la
%partie
%       imaginaire $Y$ du complexe $f(z)$.
%     \item Résoudre l'équation : $$f(z)=\frac 1 5 (13-i)$$.
%     \end{enumerate}
%   \item On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé
%     $(O,\vec{u},\vec{v})$ (unité graphique 1cm ).\\
%     On considère le point A d'affixe $z_1$, le point B d'affixe $z_2$ et
%le
%     point C d'affixe $5+3i$.
%     \begin{enumerate}
%     \item Faire une figure
%     \item Calculer les distances AB, BC et CA et en déduire que le
%triangle ABC
%       est rectangle.
%     \end{enumerate}
%   \end{enumerate}

%\item[Exercice 1 {\small ( 7  points)}] $\ $\\



\exo \textit{équations 2nd degré - forme trigo.}


  \begin{enumerate}
  \item Résoudre dans l'ensemble $\bc$ des nombres complexes l'équation :
    $$z²-8z+20=0.$$
    Les solutions seront notées $z_1$ et $z_2$, la partie imaginaire de
$z_1$
    étant positive.
  \item Dans le plan complexe, placer les points A, B et C d'affixes
respectives
    $z_1$, $z_2$ et $2i$.\\
    Calculer le module et un argument du complexe : $$
Z=\frac{z_2-z_1}{2i-z_1}.$$
    En déduire que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
  \item Soit D le point d'affixe $2(1-\sqrt{2})$.

    Calculer une mesure de l'angle orienté $(\ve{DA},\ve{DC})$.
  \end{enumerate}

\exo \textit{Forme trigo., ensembles de points}

  On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
  $(O,\vec{u},\vec{v})$ . Soit $f$ l'application qui à chaque point M
d'affixe $z$
  non nulle associe son image M' d'affixe $z'$ telle que :$$z'=\frac 1 z
.$$
  On appelle $\mathcal(C)$ le cercle de centre O et de rayon 1.
  \begin{enumerate}
  \item Placer sur une figure (en prenant 4 cm pour unité graphique) le
point B,
    d'affixe $w=\dfrac 1 2 (1+i)$, et son image B' par $f$.\\
    Donner le module et un argument de chacun des complexes $w$ et $w'$.
  \item Soit $z$ un complexe non nul.\\
    Comparer les modules et les arguments de $z$ et $z'$ .
  \item Quel est l'ensemble des points M pour lesquels M et M' sont
symétriques
    par rapport à l'axe $(O,\vec{u})$ ?
  \item Soit M un point de la droite D d'équation : $x=\dfrac 1 2$.\\
    Montrer que son affixe $z$ vérifie :$$ |1-z|=|z|$$ puis que :
    $$\left|\frac 1 z - 1 \right|=1.$$
    En déduire que M' est sur un cercle $\Gamma$ que l'on déterminera.
    Placer D et $\Gamma$ sur la figure.
  \end{enumerate}

%\item[Exercice 3 {\small ( 4 points)}] $\ $\\


%\exo
%
%
%Prouver, en raisonnant par récurrence sur n, que :\\
%
%\emph{ Pour tout $n\in\BBN$, $n\neq0$ , le reste de la division de
%$10^n$ par $6$ est $4$.}
%%\end{description}
%% \end{document}

%% Ce qui suit est extrait de ts20001
% %%faire un dvips -t landscape
% \documentclass[a4paper,12pt]{article}
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% \newcommand{\N}{$\mathbb{~N~}$}
% \newcommand{\C}{$\mathbb{~C~}$}
% \newcommand{\D}{$\mathbb{~D~}$}
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% \usepackage{aeguill}
% \pagestyle{empty}
%
% \setlength{\textwidth}{26cm} % permet de fixer la largeur du texte
%  \setlength{\textheight}{21cm} %permet de fixer la hauteur du texte
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%pages paires
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%
% %\documentclass{article}
% \usepackage{multicol}
% %\usepackage{french}
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%

%\vspace*{-3cm}


%\framebox{Term S$_2$ \hspace{8cm}   \Large{ Contrôle N°1}
%\normalsize \hspace{6cm}  Jeudi 30 septembre 1999 }
%
%\vspace{1cm}
%
%\begin{multicols}{2}
%
%\begin{description}

%\item[\underline{Exercice 1}]{\small ( 5 points )}


\exo \textit{\'Equations - systèmes}

\begin{enumerate}

\item Résoudre dans $\bc$ les équations suivantes:
        \begin{enumerate}

        \item $\fr{z+2}{z+2i}=i$

\item $ 2z+i \overline{z} = 5-i$
        \end{enumerate}


\item Résoudre dans $\bc\times\bc$ le système suivant: $\left\{
        \begin{array}{rl}
        2iz+z' &=2i\\
        3z-iz' &=1
        \end{array}
        \right.$
\end{enumerate}




%\item[\underline{Exercice 2}]{\small ( 4 points )}



\exo \textit{\'Equations coeff complexes}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation :
        $ z² + 2z + 2 = 0 $
\item Soit l'équation (F) d'inconnue complexe z :
$$\textrm {(F)~:~} z² - 2z + 4 + 4i = 0 $$
\item Montrer que (F) admet pour solution un nombre imaginaire pur
que l'on déterminera. \item Résoudre l'équation (F).
\end{enumerate}


\exo \textit{Forme trigo.}

On considère les nombres complexes suivants :

$$Z_{1}=\frac{\textstyle{3\sqrt{2}}}{\textstyle{2}}(i-1)
 \textrm{ et } Z_{2}=-2-2i\sqrt{3}$$
($i$ étant le nombre complexe de module 1 et d'argument
$\frac{\pi}{2}$ ).

\begin{enumerate}

\item Déterminer le module et un argument, exprimé en radians, de
chacun des
 nombres $Z _{1}$ et $Z_{2}.$

\item Calculer, sous forme trigonométrique les complexes
$Z_{1}^{3}$ et $Z_{2}^{2}$ .

\item En déduire le module et un argument (en radians) du nombre
$$U=\frac{Z_1^3}{Z_2^2}.$$

\item Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de l'entier relatif $k$
le complexe
        $ Z_1^k $ est un réel.

\end{enumerate}


\exo \textit{Forme alg. - ensembles de points}

À tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe Z défini
par :
$$ Z = \frac{z-1+2i}{z-i} \hspace{3cm} ( z\neq i ).$$

\begin{enumerate}

\item Calculer $ Z$ pour, successivement : $z = 1, z = 1 - i.$
\item On pose $z = x + iy$ et $Z = X + iY$ ($x, y, X, Y$ sont des
nombres réels).
        \begin{enumerate}
        \item Calculer $ X$ et $ Y$ en fonction de $x$ et $y$.

        \item Déterminer l'ensemble E des points M d'affixe $z$ tel que
$Z$ soit un réel.

        \item Déterminer l'ensemble F des points M d'affixe $z$ tel que
$Z$ soit imaginaire pur.

        \item Représenter les ensembles E et F dans le plan complexe
rapporté au repère orthonormal direct
$(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ .

        \end{enumerate}

\end{enumerate}


%\vspace{0.5cm}
%\hline
%\vspace{0.5cm}


%\item[Exercice 4] \small{( 6 points )}

%\C désigne l'ensemble des nombres complexes.
%On considère l'application f de \C$\backslash$\{1\} dans \C définie par :
%       $ f(z) = \frac{\textstyle{1+z}}{\textstyle{1-z}} $

%\begin{enumerate}

%\item Déterminer les complexes $z$ tels que $f(z) = z$.
%\item Dans le plan P rapporté à un repère orthonormal direct
%$(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ , on désigne par :
%M le point d'affixe z ; A le point d'affixe 1 ; A' le point d'affixe -1.
%       \begin{enumerate}

%\item Donner une interprétation géométrique des arguments de  $1+z$  et
%de  $1-z$.
%\item En déduire une interprétation géométrique de l'argument de $f(z)$.
%\item Déterminer l'ensemble des points M du plan P tels que $f(z)$ soit
%un réel.       Dessiner cet ensemble.

%       \end{enumerate}

%\end{enumerate}

%\end{description}


%\end{multicols}
% \end{document}
%
%
%
%
%
%
%
%
%

%%% Ce qui suit est extrait de ts0203
%% \documentclass[12pt]{article}
%% \usepackage{amsmath,amssymb}
%% \usepackage[francais]{babel}
%% \usepackage{vmargin,fancyhdr}
%% \setmarginsrb{2cm}{0cm}{2cm}{1cm}{2cm}{0.5cm}{1cm}{1cm}
%%\newcommand{\ds}[4]%classe,N°,dur{\'e}e,date
%{{#1}\hfill \Large{Contr{\^o}le N° {#2}}\hfill \small{Dur{\'e}e
%:#3\hfill {#4}}} \pagestyle{fancy} \cfoot{}
%%%toutes les maths en style math
%\everymath{\displaystyle} %%
%\newcounter{exo}
%\newcommand\exop[1]{
%\addtocounter{exo}{1}%
%{\vspace{2ex}\noindent\bf Exercice \theexo\ }%
%{\small ( #1 points)}$\ $\vspace{1ex}\\\noindent } \chead{\ds{Term
%S$_2$}{3}{ 2 heures}{Lundi 12 Novembre 2001}} \exop{6}



\exo\textit{Forme trigo - ensembles de points}

Dans le plan rapport{\'e} au rep{\`e}re orthonormal direct
$(O;\vec{u},\vec{v})$, on consid{\`e}re les points A, B et C
d'affixes respectives \\ $a=-2,\ b=-1+i\sqrt{3}\textrm{ et }
c=-3+i\sqrt{3}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le module et un argument des complexes $a,\ b$ et
$c$. \item Quelle est la nature du triangle ABC ? \item
D{\'e}terminer et repr{\'e}senter l'ensemble des points M dont
l'affixe
  $z$ v{\'e}rifie : $\left\vert iz+2i\right\vert=\left\vert
z+3-i\sqrt{3}\right\vert$
\end{enumerate}

\exo \textit{\'Equation de degré 4}
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre complexe $z$, on consid{\`e}re
  $$f(z)=z^4-10z^3+38z^2-90z+261.$$
  \begin{enumerate}
  \item Soit $b$ un nombre r{\'e}el. Exprimer en fonction de $b$ les
    parties r{\'e}elle et imaginaire de $f(ib)$. En d{\'e}duire que
    l'{\'e}quation $f(z)=0$ admet deux nombres imaginaires purs comme
    solution.
  \item Montrer qu'il existe deux nombres r{\'e}els $\alpha$ et $\beta$,
    que l'on d{\'e}terminera, tels que, pour tout nombre complexe $z$,
    $$f(z)=(z^2+9)(z^2+\alpha z+\beta).$$
  \item R{\'e}soudre dans l'ensemble des nombres complexes l'{\'e}quation
$f(z)=0$.

  \end{enumerate}
\end{enumerate}
%\exo\textit{Forme alg. - ensembles de points}
%
%Le plan complexe est muni d'un rep{\`e}re orthonormal direct
%$(O;\vec{u},\vec{v}).$\\
%On note A le point d'affixe $i.$\\
%\`A tout point M du plan distinct de A, d'affixe $z$, on associe
%le point M' d'affixe : $z'=\dfrac{iz}{z-i}.$
%\begin{enumerate}
%\item
%\begin{enumerate}
%\item D{\'e}terminer le point B' associ{\'e} au point B d'affixe 1.\\
%D{\'e}terminer le point C tel que son point associ{\'e} C' ait
%pour affixe 2. \item D{\'e}terminer les points M tels que l'on ait
%M'=M.
%\end{enumerate}
%
%\item Etant donn{\'e} un nombre complexe $z$ distinct de $i$, on
%pose : $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ o{\`u} $x,\ y,\ x',\ y'$ sont des
%nombres r{\'e}els.
%\begin{enumerate}
%\item D{\'e}terminer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. \item
%D{\'e}terminer l'ensemble $\Gamma$ des points M pour lesquels $z'$
%est un r{\'e}el. \item Placer les points A, B, B', C, C' et tracer
%$\Gamma$ sur une figure. (unit{\'e} graphique : 4 cm)
%\end{enumerate}
%\item Soit $z$ un complexe diff{\'e}rent de $i$.
%\begin{enumerate}
%\item Prouver que : $z'-i=\dfrac{-1}{z-i}$ \item On suppose que M
%appartient au cercle $\gamma$ de centre A et de rayon 1. Prouver
%que M' appartient aussi {\`a} $\gamma.$
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
% \end{document}
%% Ce qui suit est extrait de pon1999ex1
% \documentclass[11pt]{article}
% \usepackage{amsmath,amssymb}
% \usepackage[francais]{babel}
% \everymath{\displaystyle}
% \textwidth 16cm
% \textheight 25cm
% \hoffset 0pt
% \voffset -1in
% \oddsidemargin 0pt
% \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\;}}
%\section*{Pondich\'ery 1999}
%\begin{center}
%\textbf{EXERCICE 1 ( 5 points )}
%\end{center}


%\exo \textit{\'Equation du 2nd degré - Forme trigo. -
%transformations}
%
%\textit{Les questions 2 et 3 sont ind\'{e}pendantes.}\newline
%
%\begin{enumerate}
%\item  R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation
%  $z^{2}-2\sqrt{2}z+4=0$.\newline
%On d\'{e}signera par $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire
%est positive et par $z_{2}$ l'autre solution.
%
%\item
%\begin{enumerate}
%\item  D\'{e}terminer le module et un argument de chacun des
%nombres $z_{1}$ et $z_{2}$.
%
%\item  D\'{e}terminer le module et un argument du nombre complexe
%$\left( \dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right)  ^{2}$.
%\end{enumerate}
%
%\item  Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\`{e}re
%orthonormal direct $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$
%(unit\'{e} : 1 cm), on consid\`{e}re le point $\mathrm{M_{1}}$
%d'affixe $\sqrt{2}(1+i)$, le point $\mathrm{M_{2}}$ d'affixe
%$\sqrt{2}(1-i)$ et le point A d'affixe
%$z_{A}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
%
%\begin{enumerate}
%\item  D\'{e}terminer l'affixe du point $\mathrm{M_{3}}$, image de
%$\mathrm{M_{2}}$ par l'homoth\'{e}tie $h$ de centre A et de
%rapport -3.
%
%\item  D\'{e}terminer l'affixe du point $\mathrm{M_{4}}$, image de
%$\mathrm{M_{2}}$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle
%$-\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\item  Placer dans le m\^{e}me rep\`{e}re les points A,
%$\mathrm{M_{1}}$, $\mathrm{M_{2}}$, $\mathrm{M_{3}}$, et
%$\mathrm{M_{4}}$.
%
%\item  Calculer $\dfrac{z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z1}$.
%
%\item  Soient I le milieu du segment
%[$\mathrm{M_{3}}$$\mathrm{M_{4}}$] et $\mathrm{M_{5}}$ le
%sym\'{e}trique de $\mathrm{M_{1}}$ par rapport \`{a} I. Montrer
%que les points $\mathrm{M_{1}}$, $\mathrm{M_{3}}$,
%$\mathrm{M_{5}}$ et $\mathrm{M_{4}}$ forment un carr\'{e}.\bigskip
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%% \end{document}
%%% Ce qui suit est extrait de asi2002ex2
%% \documentclass[11pt] {article}
%% \usepackage[T1]{fontenc}
%% \usepackage[latin1]{inputenc}% applemac -> latin1 sur Pc!
% \usepackage{amsmath,amssymb,graphics,multicol}
% \usepackage[francais]{babel}
% \everymath{\displaystyle}
% \textwidth 18cm \textheight 24cm \hoffset 0pt \voffset -1in
% \oddsidemargin 0pt
% \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\;}}
% \DeclareMathOperator{\e}{e}
% \renewcommand{\thesubsection}{\Roman{subsection}.}
% \pagestyle{empty}


\exo \textit{\'Equations du 2nd degré - forme trigo - ensemble de
points}

\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ rapporté au repère
  orthonormal direct $\left(O ;\ve{u} ;\ve{v}\right)$, on considère
  les quatre points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives 3, 4i,
  -2+3i et 1-i.
\begin{enumerate}
\item Placer les points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le plan. \item
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
\end{enumerate}
\item On considère dans l'ensemble des complexes les équations :
\begin{eqnarray} z^2-(1+3i)z-6+9i&=&0\\z^2-(1+3i)z+4+4i&=&0
\end{eqnarray}
\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation (1) admet une solution réelle $z_1$
et
  l'équation (2) une solution imaginaire pure $z_2$.
\item Développer $(z-3)(z+2-3i)$, puis $(z-4i)(z-1+i)$. \item En
déduire les solutions de l'équation
:$$(z^2-(1+3i)z-9+9i)(z^2-(1+3i)z+4+4i)=0$$. \item Soit $z_0$ la
solution dont la partie imaginaire est strictement
  négative. Donner la forme trigonométrique de $z_0$.
\item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que les points
$M_n$
  d'affixe $z_0^n$ soient sur la droite d'équation $y=x$.
\end{enumerate}
\item On appelle $f$ l'application qui, au point $M$ d'affixe $z$,
  associe le point $M'$, d'affixe $z'$ telle que :
  $z'=z^2-(1+3i)z-6+9i$.
\begin{enumerate}
\item On pose $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$. Exprimer $x'$ et $y'$ en
fonction de $x$ et $y$. \item Déterminer une équation de
l'ensemble $(H)$ des points $M$ pour
  lesquels $f(M)$ appartient àl'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
% \end{document}
%% Ce qui suit est extrait de ex1
% \documentclass[11pt]{article}
% %\usepackage[T1]{fontenc}
% %\usepackage[latin1]{inputenc}
% \usepackage{amsmath,amssymb}
% \usepackage{enumerate}
%\providecommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}\ }}



\exo \textit{\'Equations du 2nd degré - ensembles de points -
forme trigo.}


\begin{enumerate}
\item R\'esoudre dans l'ensemble $\bc$ des nombres complexes les
\'equations
  suivantes~:
  \begin{enumerate}
  \item $z^2-2z+5=0$
  \item $z^2-2(1+\sqrt{3})z+5+2\sqrt{3}=0$
  \end{enumerate}
\item On consid\`ere dans le plan complexe rapport\'e \`a un
rep\`ere
  orthonormal direct $(O;\vec{u},\vec{v})$ les points A, B, C, D
  d'affixes respectives :
$$z_A=1+2i,\  z_B=1+\sqrt{3}+i,\  z_C=1+\sqrt{3}-i,\  z_D=1-2i.$$
\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, C et D. \item Pr\'eciser la nature
du quadrilar\`ere ABCD. \item V\'erifier que :
$\dfrac{z_D-z_B}{z_A-z_B}=i\sqrt{3}$. \item Que peut-on en
d\'eduire pour les droites (AB) et (BD) ? \item Prouver que les
points A, B, C et D appartiennent \`a un m\^eme cercle
  $\Gamma$ dont on pr\'ecisera le centre et le rayon. Tracer $\Gamma$.
\end{enumerate}
\item Etant donn\'e un nombre r\'eel $\theta$ de l'intervalle
$[0;2\pi]$, on
  consid\`ere l'\'equation~:
\begin{equation}
z^2-2(1+2\cos\theta)z+5+4\cos\theta=0 \label{eq}
\end{equation}
\begin{enumerate}
\item R\'esoudre l'\'equation (\ref{eq}) dans $\bc$. \item Prouver
que les points images des solutions appartiennent au
  cercle $\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
% \end{document}

%% Ce qui suit est extrait de ex2
% \documentclass[11pt]{article}
% %\usepackage[T1]{fontenc}
% %\usepackage[latin1]{inputenc}%latin1->applemac sur mac!
% \usepackage{amsmath,amssymb}
% \usepackage{enumerate}

\exo\textit{Forme alg. - ensemble de points}


Le plan complexe est muni d'un rep{\`e}re $(O;\vec{u},\vec{v}).$\\
On note A le point d'affixe $i.$\\
\`A tout point M du plan distinct de A, d'affixe $z$, on associe
le point M' d'affixe : $z'=\dfrac{iz}{z-i}.$
\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
   \item D{\'e}terminer le point B' associ{\'e} au point B d'affixe 1.\\
    D{\'e}terminer le point C tel que son point associ{\'e} C' ait pour
affixe
    2.
  \item D{\'e}terminer les points M tels que l'on ait M'=M.
  \end{enumerate}

\item Etant donn{\'e} un nombre complexe $z$ distinct de $i$, on
pose : $z=x+iy$ et $z'=x'+iy'$ o{\`u} $x,\ y,\ x',\ y'$ sont des
nombres r{\'e}els.
\begin{enumerate}
\item D{\'e}terminer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$. \item
D{\'e}terminer l'ensemble $\Gamma$ des points M pour lesquels $z'$
est
  un r{\'e}el.
\item Placer les points A, B, B', C, C' et tracer  $\Gamma$ sur
une
  figure. (unit{\'e} graphique : 4 cm)
\end{enumerate}
\item Soit $z$ un complexe diff{\'e}rent de $i$.
  \begin{enumerate}
  \item Prouver que : $z'-i=\dfrac{-1}{z-i}$
  \item On suppose que M appartient au cercle $\gamma$ de centre A et de
    rayon 1. Prouver que M' appartient aussi {\`a} $\gamma.$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
% \end{document}

%% Ce qui suit est extrait de PC001
% %NK:Premiere/Complexe/exo-001/texte.tex

\exo \textit{\'Equation du second degré - formes alg. et trigo.}


 \begin{enumerate}
 \item On considère dans $\bc$ l'équation d'inconnue $z$:
   \begin{equation}
   z=(1+i)\bar{z}+3-2i\label{2011001600}
   \end{equation}

   \begin{enumerate}
   \item Calculer en fonction de $x$ et de $x$ les parties réelles et
       imaginaires de: $(1+i)\bar{z}+3-2i$.

   \item En remarquant que deux nombres complexes égaux ont la même partie
       réelle et la même partie imaginaire, vérifier que la résolution de
       l'équation \eqref{2011001600} conduit à un système linéaire de deux
       équations à deux inconnues. En déduire la solution de
       \eqref{2011001600}.


   \end{enumerate}

 \item \begin{enumerate} %
   \item Mettre le nombre complexe $(4-3i)^2$ sous forme algébrique.

   \item En déduire une factorisation de $P(z)=z^2-(7-24i)$.

   \item Résoudre dans $\bc$ l'équation:
       \begin{equation}
       P(z)=0\label{2011001601}
       \end{equation}

   \end{enumerate}

 \item On désigne par $a$ la solution de \eqref{2011001600} et par $b$ et
$c$
   celles de \eqref{2011001600} ($b$ est celle dont la partie réelle est
   positive).

   Dans le plan complexe muni du repère orthonormal $\ouv$, d'unité
   graphique~1~cm, placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectives
   $a$, $b$ et $c$.

   Montrer que le triangle ABC est rectangle.

 \end{enumerate}

% Ce qui suit est extrait de PC002
 %NK:Premiere/Complexe/exo-002/texte.tex


 \exo\textit{Forme trigo. - ensembles de points}


 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $\ouv$.

 On désigne par $A$, $B$ et $M$ les points d'affixes respectives $-2$,
 $2i$ et $z$, où $z$ désigne un complexe différent de $-2$ et de $2i$.

 On pose $\mathcal{Z}=\displaystyle{\frac{z+2}{z-2i}}$.

 \begin{enumerate}

 \item Exprimer géométriquement $|\mathcal{Z}|$ et $\arg\mathcal{Z}$.
 \item Déterminer, algébriquement puis géométriquement, l'ensemble
$\mathcal{E}$
   des points $M$ tels que :
   \begin{multicols}{2}
   \begin{enumerate}
   \item $\mathcal{Z}$ soit réel.
   \item $\mathcal{Z}$ soit imaginaire pur.
   \item $\mathcal{Z}$ soit élément de $\GR^*_-$.
   \item $\arg\mathcal{Z}=\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$
   \item $|\mathcal{Z}|=1$
   \end{enumerate}
   \end{multicols}
 \end{enumerate}

% Ce qui suit est extrait de PC003
 %NK:Premiere/Complexe/exo-003/texte.tex

\exo \textit{\'Equations du 2nd degré - interprétation géo.}

 \begin{enumerate}

 \item Résoudre dans $\bc$ les équations suivantes:

   \begin{multicols}{2}
   \begin{enumerate}
   \item $(2-4i)z=19-3i$.
       \item $2z^2+2z+1=0$.
   \end{enumerate}

   \end{multicols}

 \item Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $\ouv$ d'unité
   graphique 2~cm.

   On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives
   $z_A=3$, $z_B=\cfrac{5}{2}+\cfrac{7}{2}i$ et
   $z_C=-\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}i$.

   \begin{enumerate}
   \item Placer les points $A$, $B$ et $C$.
       \item Calculer $|z_B-z_A|$, $|z_C-z_A|$ et $|z_C-z_B|$.
       \item Quelle est la nature du triangle $ABC$?
       \item Déterminer l'affixe du point $I$ milieu de $[BC]$.
       \item En déduire l'affixe du point $D$ tel que $ABDC$ soit un
           parallélogramme. Quelle est la nature de ce parallélogramme?
   \end{enumerate}

 \end{enumerate}

% Ce qui suit est extrait de PC004
 %NK:Premiere/Complexe/exo-004/texte.tex

\exo\textit{Forme trigo. - ensembles de points}

 Le plan complexe $\Pi$ est rapporté au repère orthonormé $\ouv$ d'unité
 graphique $3\,$cm.

 On considère la fonction $f$ de l'ensemble $\bc$ dans lui-m\^eme définie
 par: $$f(z)=iz+2$$
 où $i$ est le nombre complexe de module $1$ et d'argument
$\frac{\pi}{2}$.

 A tout point $M$ de coordonnées $(x;y)$ du plan $\Pi$, on associe son
affixe
 $z=x+iy$.

 \begin{enumerate}


 \item \begin{enumerate} %
   \item Calculer $f(1)$.
   \item Placer dans le plan $\Pi$ les points $A$ et $A'$ d'affixe
       respective $1$ et $f(1)$.

   \end{enumerate}

 \item Résoudre dans $\bc$ l'équation $f(z)=z$.

 \item Soit $\Omega$ le point de $\Pi$ d'affixe $\omega=1+i$.
   \begin{enumerate}
   \item Exprimer $\omega$ sous forme trigonométrique.
   \item Placer le point $\Omega$ dans le plan $\Pi$.
   \item Calculer $\Omega A$ et $\Omega A'$.
   \item Calculer $|f(1)-1|$ et en déduire que $\Omega AA'$
       est un triangle isocèle rectangle.

   \end{enumerate}

 \item On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
   \begin{enumerate}
   \item Déterminer $X$ et $Y$, respectivement la partie réelle et
       la partie imaginaire de $f(z)$.

   \item Déterminer $E_1$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels
       que $f(z)$ soit réel. Représenter $E_1$.

   \item Déterminer $E_2$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels
       que $f(z)$ soit imaginaire pur. Représenter $E_2$.

   \item Déterminer $E_3$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels
       que $|f(z)|=2$. Représenter $E_3$.

   \end{enumerate}

 \end{enumerate}

% Ce qui suit est extrait de PC005
 %NK:Premiere/Complexe/exo-005/texte.tex

%\exo\textit{Forme alg. - interprétation géo.}
%
%
% Le plan est muni du repère orthonormal $\ouv$ d'unité graphique $2\;$cm.
%
% Soit $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives
%   $z_A=3$, $z_B=\cfrac{5}{2}+\cfrac{7}{2}i$ et
%   $z_C=-\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{2}i$.
%
% \begin{enumerate}
%
% \item Placer les $A$, $B$ et $C$ sur une figure.
%
% \item Calculer $|z_B-z_A|$, $|z_C-z_A|$ et $|z_C-z_B|$.
%
% \item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle et isocèle.
%
% \item Déterminer l'affixe du point $I$, milieu de $[BC]$.
%
% \item Déterminer l'affixe du point $D$ tel que le quadrilatère $ABDC$
%soit un
%   carré.
%
% \end{enumerate}
%
%% Ce qui suit est extrait de pol1998ex2
% \documentclass[11pt]{article}
% \usepackage{amsmath,amssymb}
% \usepackage[francais]{babel}
% \everymath{\displaystyle}
% \textwidth 16cm
% \textheight 25cm
% \hoffset 0pt
% \voffset -1in
% \oddsidemargin 0pt

%
%\section*{Polyn\'esie 1998}
%\begin{center}
%\textbf{EXERCICE 2\ ( 5 points)}
%\end{center}

\exo\textit{Forme trigo - ensembles de points}


Le plan complexe est muni d'un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;%
\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ ( unit\'{e}
graphique 2 cm ). On note A le point d'affixe 1 et B le point
d'affixe $3+2i$.\newline On appelle $f$ l'application qui, \`{a}
tout point M distinct de A et
d'affixe $z$, associe le point M' d'affixe $z^{\prime }$ d\'{e}finie par%
\begin{equation*}
{z^{\prime }=%
\frac{z-1+2i}{z-1}}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item  Calculer les affixes des points O' et B', images
respectives des points O et B par $f$. Placer les points A, O', B
et B' dans le plan.

\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer, pour tout complexe $z$ diff\'{e}rent de 1, le
produit
\begin{equation*}
\left( z^{\prime }-1\right) \left( z-1\right)
\end{equation*}

\item  En d\'{e}duire que, pour tout point M distinct de A, on a :
\begin{equation*}
\text{AM}\times \text{AM'}=2 \quad\text{ et }\quad\left(
\overrightarrow{u},%
\overrightarrow{\text{AM}}\right) +\left(
\overrightarrow{u},\overrightarrow{%
\text{AM'}}\right) \text{=}\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\;k\in \mathbb{Z}
\end{equation*}
\end{enumerate}

\item  D\'{e}montrer que, si M appartient au cercle ($C$) de
centre A passant par O, alors M' appartient \`{a} un cercle
($C^{\prime }$). En pr\'{e}ciser le centre et le rayon.
\index{Cercle}Construire ($C$) et ($C^{\prime }$).

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer l'angle ${(%
\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow{\strut \text{AB}})}$.%
\index{Angle}

\item  D\'{e}montrer que, si M est un point autre que A de la
demi-droite
($%
d $) d'origine A, passant par B, alors M' appartient \`{a} une
demi-droite
que l'on pr\'{e}cisera.%
\index{Demi-droite}
\end{enumerate}

\item  On appelle P le point d'intersection du cercle ($C$) et de
la demi-droite ($d$).\newline Placer son image P' sur la
figure.\bigskip
\end{enumerate}
% \end{document}
%% Ce qui suit est extrait de pon1998ex2
% \documentclass[11pt]{article}
% \usepackage{amsmath,amssymb}
% \usepackage[francais]{babel}
% \everymath{\displaystyle}
% \textwidth 16cm
% \textheight 25cm
% \hoffset 0pt
% \voffset -1in
% \oddsidemargin 0pt
% \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{#1\;}}
%\begin{center}
%\noindent\textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)}\\[0pt]
%\end{center}



\exo\textit{\'Equation de degré 4 - Interprétation géo.}

On consid\`{e}re le polyn\^{o}me P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$,
o\`{u} $z$ est un nombre complexe.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer deux nombres r\'{e}els $a$ et $b$ tels que :
\[\mathrm{P}(z)=(z^{2}+az+b)(z^{2}+4\,z+20).
\]

\item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation P$(z)=0$.

\item Placer dans un rep\`{e}re orthonormal direct $\left(
O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $, les images M,
N, P et Q des nombres complexes respectifs
$m=-2+4i,\;n=-2-4i,\;p=2+3i$ et $q=2-3i$.

\item

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le nombre complexe $z$ v\'{e}rifiant
$\displaystyle\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image K.

\item En d\'{e}duire que le triangle MPK est isoc\`{e}le rectangle
en K.
\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}
\item D\'{e}teminer par le calcul l'affixe du point L,
quatri\`{e}me sommet du carr\'{e} MKPL.

\item D\'{e}terminer l'abscisse du point d'intersection R de la
droite (KL) et de l'axe des abscisses.

\item Montrer que M, N, P et Q sont sur un m\^{e}me cercle de
centre R. \bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}












\exot{Style Bac avec ROC}


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\ouv$. On rappelle que pour tout vecteur $\overrightarrow{w}$ non nul, d'affixe
$z$, on a : $|z| = \|\overrightarrow{w}\|$ et arg($z) = \left(\overrightarrow{u},~\overrightarrow{w}\right)$, défini a $2k\pi$ près.

\noindent Dans cet exercice, \textsl{on prend comme prérequis} le résultat suivant :

\noindent Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls alors arg($zz'$) = arg($z$) + arg($z'$) (à $2k\pi$ près).

\begin{enumerate} \item Soit $z$ et $z'$  deux nombres complexes non
nuls ; \textbf{démontrer que} arg $\fr{z}{z'} = \text{arg}(z) - \text{arg}(z')$ (à $2k\pi$ près).

On note A et B les points d'affixes respectives 2i et $-1$.

À tout nombre complexe $z$, distinct de 2i, on associe le nombre complexe $Z = \fr{z+1}{z - 2\text{i}}$.

\item Donner une interprétation géométrique de l'argument de $Z$ dans le
cas où $z \neq -1$.

\item Déterminer et représenter graphiquement, en utilisant la question
précédente, les ensembles de points suivants

\begin{enumerate} \item L'ensemble E des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un nombre
réel négatif.

\item L'ensemble F des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un nombre
imaginaire pur.

\end{enumerate}

\end{enumerate}






\exot{Le QCM de la mort}


\textsl{Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Vous avez 1 point par bonne réponse. J'enlève 0,5 point par réponse inexacte.
}



\been
\item Soit $z\in\bbc$ vérifiant $\bar{z}+|z|=6+2i$. La forme algébrique de $z$ est $$\bigcirc\  \fr{8}{3}-2i\qquad\qcm
-\fr{8}{3}-2i\qquad\qcm \fr{8}{3}+2i\qquad\qcm -\fr{8}{3}+2i$$

\item Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z=x+iy$ vérifiant $|z-1|=|z+i|$ est la droite d'équation~:
$$\qcm y=x-1\qquad\qcm y=-x\qquad \qcm y=-x+1\qquad\qcm y=x$$

\item Soit $n\in\bbn$. Le nombre $(1+i\sqrt{3})^n$ est réel si, et seulement si
$$\qcm n\equiv1[3]\qquad\qcm n\equiv2[3]\qquad\qcm n\equiv0[3]\qquad\qcm n\equiv0[6]$$

\item Soit l'équation $z=\fr{6-z}{3-z},\ z\in\bbc$. Une de ses solutions est
$$\qcm -2-\sqrt{2}i\qquad\qcm 2+\sqrt{2}i\qquad\qcm 1-i\qquad\qcm -1-i$$

\item Soit $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A=i$ et $z_B=\sqrt{3}$ dans un repère orthonormal $\ouv$. L'affixe $z_C$ du
point de $C$ tel que $ABC$ soit un triangle équilatéral avec $(\ve{AB},\ve{AC})=\pi/3$ est
$$\qcm -i\qquad\qcm 2i\qquad\qcm\sqrt{3}+i\qquad\qcm \sqrt{3}+2i$$

\item Dans le plan complexe, l'ensemble des points $M$ d'affixe $z=x+iy$ vérifiant la relation ${\rm
arg}\left(\fr{z+2}{z-2i}\right)=\fr{\pi}{2}$ est
$$\qcm \text{une droite}\qquad\qcm\text{un cercle}\qquad\qcm\text{une lemniscate de Bernoulli}\qquad\qcm\text{une bergère syldave}$$


\een








\end{document}