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\entete{DS de mathématiques - samedi 25 avril 2009}{DS de
  mathématiques - samedi 25 avril 2009}{Lycée Jean \textsc{Perrin}
  1\up{ère} 1}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\newcommand{\syst}[4]{\left\{ \begin{array}{rcl} #1 &=& #2\\#3 &=& #4 \end{array}\right.} %syst�me

\psshadowbox*[fillcolor=0.8white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE \begin{center} 1\up{ère} ES1 - D.S.  de
    mathématiques - Samedi 25 avril 2009 - 2 heures\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}



\begin{multicols}{2}




\exot{}

 Le plan est muni d'un rep\`ere orthonormal \Oij.\\
On consid\`ere la figure repr\'esent\'ee ci-dessous. On notera $\mathcal{D}$ la partie gris\'ee.

\begin{enumerate}\item D\'eterminer une \'equation de la droite (CB) et une \'equation de la droite (CD).

\item \'Ecrire un syst\`eme d'in\'equations caract\'erisant la partie de plan gris\'ee,
 fronti\`eres comprises. (On justifiera la r\'eponse).
 
 \end{enumerate}

\begin{center}

\psset{unit=0.5cm}\begin{pspicture}(12,20)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(12,0)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(0,0)(0,20)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(8,0)(8,3)(6,8)(2,15)(0,15)(0,0)
\psline[linestyle=dotted](2,0)(2,15)
\psline[linestyle=dotted](6,0)(6,8)
\psline[linestyle=dotted](0,3)(8,3)
\psline[linestyle=dotted](0,8)(6,8)
\uput[ur](0,15){E} \uput[ur](2,15){D} \uput[ur](6,8){C} 
\uput[ur](8,3){B} \uput[ur](8,0){A}
\uput[dl](0,0){0} \uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} \uput[d](3,0){3} 
\uput[d](4,0){4} 
\uput[d](5,0){5} \uput[d](6,0){6} \uput[d](7,0){7} \uput[d](8,0){8}
\uput[l](0,1){1} \uput[l](0,2){2} \uput[l](0,3){3} \uput[l](0,4){4} 
\uput[l](0,5){5} 
\uput[l](0,6){6} \uput[l](0,7){7} \uput[l](0,8){8} \uput[l](0,9){9} \uput[l](0,10){10} 
\uput[l](0,11){11} \uput[l](0,12){12} \uput[l](0,13){13} 
\uput[l](0,14){14} \uput[l](0,15){15}
\uput[u](12,0){$x$} \uput[l](0,20){$y$}
\rput(4,5){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture}
 \end{center}













\exot{}
Pour  \'equiper  le club  de  bataille  corse  qu'il vient  de  cr\'eer,
Dominique a besoin de 16 tables,
72 chaises et 44 jeux de cartes.\\
Il s'adresse \`a deux boutiques sp\'ecialis\'ees : la boutique A et la boutique B.\\
La boutique A lui propose un lot de 2 tables, 8 chaises et 11 jeux de cartes
pour \nombre{2500} \texteuro.\\
La boutique B lui propose un lot de 2 tables, 10 chaises et 4 jeux de cartes
pour \nombre{2750} \texteuro.\\
Le but de l'exercice est de d\'eterminer le nombre $x$ de lots qu'il va acheter
\`a la boutique A et le nombre $y$ de lots qu'il va acheter \`a la boutique B pour que la
d\'epense soit minimale.

\begin{enumerate} \item Traduire par un syst\`eme d'in\'equations les contraintes 
    d'\'equipement.

\item Dans le plan muni d'un rep\`ere orthonormal (unit\'e graphique: 1 cm), resoudre
graphiquement le syst\`eme :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &\geqslant& 0\\
y&\geqslant& 0\\
x+y &\geqslant& 8\\
4x+5y& \geqslant & 36\\
11 x + 4y &\geqslant& 44\\
\end{array}\right.\]

(Hachurer l'ensemble des points dont les coordonn\'ees ne v\'erifient pas le syst\`eme,
en expliquant votre d\'emarche pour la seule in\'equation $4x + 5y \geqslant 
36$.)

\item \begin{enumerate} \item Exprimer la d\'epense $D$ occasionn\'ee par l'achat de $x$
lots \`a la boutique A et de $y$ lots \`a la boutique B.

\item Les couples $(x~;~ y)$ correspondant \`a une d\'epense donn\'ee $D$, sont les 
coordonn\'ees de points de la droite $\Delta_{D}$ dont on donnera une \'equation sous la
forme $y = ax+b$. 

\item Tracer la droite $\Delta_{D}$ avec $D = \nombre{27500}$.

\end{enumerate}

\item D\'eterminer \`a l'aide du graphique, en le justifiant, le nombre 
$x_{0}$ de lots \`a acheter \`a la boutique A et le nombre $y_{0}$ de lots \`a acheter \`a
la boutique B pour satisfaire les besoins avec une d\'epense minimale.
             
Calculer cette d\'epense minimale.

\end{enumerate}


\exot{}

Résoudre chacun des systèmes suivants par le calcul~:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item  $\left\{\begin{array}{rcl}
7y+3x & = & 8 \\
9x-4y & = & -1
\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{rcl}
8x-3y & = & 9 \\
-\frac{4}{3}x+\frac{1}{2}y & = & -7 
\end{array}\right.$
\item $\left\{\begin{array}{rcl}
-3x+7y-z&=&-1\\
7x+3y+2z&=&-2\\
-15x+5y-5z&=&-5
\end{array}\right.$ 
\end{enumerate}
\end{multicols}



\exot{}


Un entrepreneur syldave  place une partie de sa  fortune issue du trafic
de  drogue  et   de  la  prostitution  à  $6~\%$   dans  une  banque  du
Voluptembourg  et  le  reste  à  $4~\%$  dans une  banque  de  l'île  de
Pulover. Au bout d'un an, elle reçoit $20\,800\,000$ \texteuro{} d'intérêts.\\
Si elle avait placé la première partie à $4~\%$ et la deuxième à $6~\%$, elle aurait reçu $1\,600\,000$ \texteuro{} d'intérêts en moins.\\
On veut calculer la fortune initiale.


\begin{enumerate}
\item Mettre en système le problème.
\item Calculer la fortune initiale.
\end{enumerate}




\exot{}


Pour chacun des cas suivants, calculer $f\circ g(x)$ et $g\circ f(x)$ :

\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x^2-1$ \quad et \quad $g(x)=5x-4$.
\item $f(x)=x^2-6$ \quad et \quad $g(x)=x^2+3$.
\end{enumerate}


\exot{}


Dans chacun des cas suivants, donner l'ensemble de définition de la fonction $h$ puis écrire $h$ comme la composée d'une fonction $f$ suivie d'une fonction $g$ :

\begin{enumerate}
\item $h : x \longmapsto \sqrt{1-5x}$.
\item $h : x \longmapsto \dfrac{1}{5x-7}$.
\end{enumerate}


\exot{} 
 
\begin{minipage}{7cm} 
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[-3;5]$ par $f(x)=x^2-x-6$. 
 
Ci-contre, on donne $\CR_f$, la courbe représentative de $f$. 
 
\begin{enumerate} 
 
 \item Déterminer graphiquement: 
 
 \begin{itemize}
 \item $f(0)$:  
 \item l'image de $3$ par $f$:  
 \item les éventuels antécédents de $-4$ par $f$: 
  
 \item les éventuels antécédents de $10$ par $f$: 
  
 \item les éventuels antécédents de $-6$ par $f$: 
  
 \item l'ordonnée du point de $\CR_f$ d'abscisse $5$:  
 \item les solutions de l'équation $f(x)=3$  
 \end{itemize} 
 
 \item Déterminer algébriquement l'image de $\frac{1}{2}$ par $f$. 
 \item Montrer que pour tout $x$ de $[-3;5]$, 
 $f(x)=(x-3)(x+2)$. 
 
 \item Retrouver algébriquement les antécédents de $0$ par $f$. 
 
\end{enumerate} 
 
\end{minipage} 
\hfill 
\begin{minipage}{7cm} 
 
\psset{xunit=0.8,yunit=0.4} 
\begin{pspicture}(-3.5,-8)(5.5,15) 
\MaGrille[5,xunit=0.5]{-6}{-7}{10}{14} 
\MesAxes[.6pt,Dy=5]{-3.5}{-8}{5.5}{15} 
\psplot[plotpoints=500]{-3}{5}{-1 x add x mul -6 add} 
\MonRepereij 
\rput(-0.3,-0.6){$O$} 
\rput(-3,6){\scalebox{0.8}{$\bullet$}} 
\rput(5,14){\scalebox{0.8}{$\bullet$}} 
 
\end{pspicture} 
 
\end{minipage} 
 
  


% \exot{Question subsidiaire}


% Soit  $(E_1)$ l'ensemble  des  points de  coordonnées  $(x,y)$ tels  que
% $(y-2)^2=5x+y^2+1$  et  $(E_2)$  l'ensemble  des points  de  coordonnées
% $(x,y)$ tels que $12+2y=-7x$.

% Étudiez leur intersection.
\end{multicols}
\end{document}
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%%% TeX-master: t
%%% End: 
