
\documentclass[a4paper,10pt,latin1]{polymaths}


\entetalice{DS n°3}{SGM 1 - 2005/2006}


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

.

\vspace{-2cm}

\textcolor{bleu_f}{\bfseries\huge\floweroneleft \ \ SGM1  \ \ CORRIG\'E du devoir  de mathématiques n°3\ \ \floweroneright}

\bigskip


\sol{}

$f(x,y)=\ln(xy-x^2)$ 

$\dr{f}{x}(x,y)=\fr{y-2x}{xy-x^2}=\fr{y-2x}{x(y-x)}$

$\dr{f}{y}(x,y)=\fr{x}{x(y-x)}=\fr{1}{y-x}$

\sol{}

$\dr{f}{x}=-\ud\times 2x\times \fr{1}{(x^2+y^2)^{3/2}}=-\fr{x}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}$

De même $\dr{f}{y}=-\fr{y}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}$

Donc $x\dr{f}{x}(x,y)+y\dr{f}{y}(x,y)=\fr{-x^2-y^2}{(x^2+y^2)\sqrt{x^2+y^2}}=-f(x,y)$

\sol{}

$\fr{1}{R}=\fr{1}{x}+\fr{1}{y}$ d'où le résultat.

$\d R=\dr{R}{x}\d x+\dr{R}{y}\d y$

$\dr{R}{x}=\fr{y(x+y)-xy}{(x+y)^2}=\fr{y^2}{(x+y)^2}$

$\d R=\fr{y^2}{(x+y)^2}\d x+\fr{x^2}{(x+y)^2}\d y$


\sol{}

$I=\ds\int_{x=0}^{x=1}x^2\pa{\int_{y=0}^{y=1}\fr{1}{1+y^2}\d y}\d x=\int_{x=0}^{x=1}x^2\big[\Arctan y\big]_{y=0}^{y=1}\d x=\fr{\pi}{4}\cro{\fr{x^3}{3}}_{x=0}^{x=1}=\fr{\pi}{12}$

\sol{}

$I_y=\ds\int_{x=0}^{x=1}x^2\pa{\int_{y=0}^{y=-x+1}\d y}\d x=\cro{-\fr{x^4}{4}+\fr{x^3}{3}}_{x=0}^{x=1}=\fr{1}{12}$

\sol{}

Passage en polaire.

$I=\ds\intt_{\Delta}{\rm e}^{r^2}r\d r\d \theta$ avec $\Delta=\big\{ (r,\theta)\,|\, 0\ie r\ie 1, 0\ie \theta\ie \pi\big\}$

$I=\pi\ds\int_{r=0}^{r=1}r{\rm e}^{r^2}\d r=\fr{\pi}{2}\cro{{\rm e}^{r^2}}_{r=0}^{r=1}=\fr{({\rm e}-1)\pi}{2}$


\end{document}