\documentclass[10pt,landscape]{report}
\usepackage{etex}
\usepackage[height=180mm,width=260mm]{geometry}

\usepackage[kpfonts,utf8]{preambule}

\graphicspath{{/home/moi/Figures/}}
\entete{\large \bfseries DS 2}{DS 2}{Lycée Jean \textsc{Perrin} - T\up{ale}S4}%g,d,b

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries   \begin{center}  Devoir  surveillé   de  mathématiques
    n\textdegree 2 - T\up{ale}S4 - Jeudi 5 novembre 2009 - 2 heures\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}


\begin{multicols}{2}

\exot{Cours}

Énoncer le théorème  de la bijection, la définition  de la continuité et
celle de la dérivabilité
d'une fonction $f$ en un réel $a$.


% \exot{}
% On  considère  la  fonction  $f$ définie  sur  $]0,+\infty[$  par
% $f(x)=\fr{2x^2+1}{x^2}$

% À l'aide uniquement des définitions des limites vues en cours, démontrez
% que $\Lim{+\infty} f(x)=2$.


\exot{}
    Étudier les limites des fonctions suivantes :
\begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$ en $+\infty$ ;
    \item $\dfrac{\sin(x)}{x}$ en $0$ ;
    \item $\dfrac{\tan(x)}{x}$ en $0$ ;
    \item $\dfrac{\sin(3x)}{x}$ en $0$ ;
    \item $x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ en $+\infty$.
    \end{enumerate}
  \end{multicols}


\exot{}


On considère la fonction $f$ définie sur $\bbr$ par :
\[f(x)= \sqrt{x^2+\left|x\right|}\]
On note $\CR$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \oij d'unité graphique 2 cm.

\subsubsection*{Partie A : étude de $f$}
\begin{enumerate}
   \item  Montrer que la courbe $\CR$ est symétrique par rapport à l'axe \oj
   \item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
   \item  Étudier la dérivabilité de $f$ en zéro. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
   \item Étudier le sens de variation de $f$.
   \item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\bbr$. 
\end{enumerate}


\subsubsection*{Partie B : asymptotes à $\CR$}
Soit $\DR$ la droite d'équation $y=x+1/2$


\begin{enumerate}
   \item  Montrer que $\DR$ est asymptote oblique à $\CR$ au voisinage de $+\infty$.
   \item  Préciser la position relative de $\CR$ et $\DR$. 
   \item  Prouver que $\CR$ admet une autre asymptote dont on donnera une équation.
\end{enumerate}
\subsubsection*{Partie C : résolution d'une équation}

Soit $n$ un entier naturel non nul.
\begin{enumerate}
   \item À l'aide de l'étude de la fonction $f$, montrer que l'équation d'inconnue $x$, $f(x) = n$ admet une solution unique sur l'intervalle $[0,+\infty[$. On note $a_n$ cette solution.
   \item Exprimer $a_n$ en fonction  de $n$ sans avoir recours à l'étude
     de la fonction $f$.  
\end{enumerate}



\exot{}


Le plan complexe $ \mathcal{P}$ est rapporté à un repère
orthonormal direct
$(O\,;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ d'unité graphique 3 cm. Soit
$A,\;B$ et $C$ les points d'affixes respectives $i\,,\;1+i$ et $\,-1-i$.\\



 On appelle $f$ l'application du plan $\mathcal{P}$
privé de $A$ dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe
$z\;(z\neq i)$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :
$$ z'=\frac{z^2}{i-z}$$

\begin{enumerate}
\item Déterminer les affixes sous forme algébrique des points $B'$
  et $C'$, images de $B$ et $C$  par l'application $f$.
\item Déterminer les affixes sous forme algébrique des points invariants par $f$.
\item On pose $z=x+i\,y\;$ et $\;z'=x'+i\,y'\;$ avec $x,\;y,\;x'$ et $y'$ réels.
\begin{enumerate}
\item % Démontrer que 
% $$x'=\frac{-x(x^2+y^2-2y)}{x^2+(1-y)^2} $$
Exprimer la partie réelle de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.
\item En déduire l'ensemble $\mathcal E$ des points $M(z)$ tels que $z'$ soit un imaginaire pur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
















\end{multicols}
\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
