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\ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi
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\usetikzlibrary{automata,fit,trees,matrix,arrows,decorations.pathmorphing,shapes,arrows,chains,positioning,intersections,backgrounds,calc,through,mindmap}
\newcommand{\myunit}{1.1cm}
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\usepackage[autolanguage]{numprint}

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\captionsetup{labelformat=empty,font=footnotesize}


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\newtheorem{exercice}{Exercice}


\setlength{\columnseprule}{0pt}

%\setlength{\parskip}{0pt}



\graphicspath{{/home/moi/IUT/Figures/}{/home/moi/VISA_III/figures_visa/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2006_7/}{/home/moi/Figures/Arbres_Graphes/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Lycee/Informatique/XCAS/2008_9/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2008_9/}{/home/moi/IUT/Thierry/Conversions/}{/home/moi/Photos/informathix/}{/home/moi/Lycee/Informatique/PafAlgo/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Biocam/robot/}{/home/moi/Biocam/CoursIni3d/}{/home/moi/Biocam/central/figures/}{/home/moi/Biocam/central/}{/home/moi/IUT/INFO2/Images/}{/home/moi/IUT/INFO2/2011_12/graphes/}{/home/moi/IUT/INFO1/CM1/}{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Lycee/TS/}{/home/moi/Lycee/TS/2009_10/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Figures/figuresTS/newcourbes/}{/home/moi/Figures/FigEspace/}{/home/moi/PROG/HASKELL/FLOAT/}}



\newcommand\caml{\lstset{numbers=none,language=Caml,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\small\color{orange!40}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\small\ttfamily\color{white},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!90!red},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}
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\newcommand\haskell{\lstset{numbers=none, escapeinside={(*@}{@*)},language=haskell,xleftmargin=10pt,%
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\lstdefinelanguage{JavaScript}{
  keywords={js, pow, typeof, new, true, false, catch, function, return, null, catch, switch, var, if, in, while, do, else, case, break,Math.pow},
  ndkeywords={ Math, class, export, boolean, throw, implements, import, this},
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  comment=[l]{//},
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  morestring=[b]"
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\newcommand\js{\lstset{numbers=none,language=JavaScript,xleftmargin=10pt,%
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}




\setcounter{tocdepth}{1} %\setcounter{page}{0}


\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}


\mode<presentation>
{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}
\usepackage{elephantbird}

\newcommand{\triangleup}{\Delta}

\begin{document}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Méthodes numériques II: Calcul différentiel}

\subtitle{INFO1 - Semaines 7 \& 8}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{\textsc{IUT} de Nantes - Dpt d'informatique }% (optional, but mostly needed)

\logo{\includegraphics[scale=0.15]{logo_iut}}

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Dernière mise à jour: \today{} à \now}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }


\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

% \AtBeginSubsubsection[]
% {
%   \begin{frame}<beamer>
%     \frametitle{Sommaire}
%  {\scriptsize
% \begin{multicols}{2}
%     \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%        \end{multicols}
% }

%   \end{frame}
% }




% \AtBeginSubsection[]
% {\scriptsize
%   \begin{frame}<beamer>
%     \frametitle{Sommaire}
%  {\tiny
% \begin{multicols}{2}
%     \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%        \end{multicols}
% }

%   \end{frame}
% }





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}




\newcommand{\TR}{\mathcal{T}}


\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}


\haskell




\section{Le calcul infinitésimal}


\subsection{Infiniment petits}



\begin{frame}

 Jean \textsc{Bernoulli} (1691), \textbf{les infiniment petits sont des quantités
qui  peuvent être  ajoutées à  des quantités  finies sans  changer leurs
valeurs. Les courbes sont des polygones à côtés infiniment courts.} 

\pause

  

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.222}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}







\subsection{Règles de dérivation}\label{sec::regDeriv}


\subsubsection{Dérivée d'une combinaison linéaire}




\begin{frame}
  \begin{theorem}[Dérivation d'une combinaison linéaire]
$$y=au+bv     \Longrightarrow     \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=a\cdot
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+b\cdot    \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}
\text{ ou bien } y'=a\cdot u'+b\cdot v'$$
\end{theorem}

\end{frame}




\subsection{Dérivée d'un produit}


\begin{frame}
  

\begin{theorem}[Dérivation d'un produit]
$$y=u\cdot v \Longrightarrow \hspace{20em}$$
\end{theorem}

\end{frame}


\subsubsection{Dérivée d'un quotient}

\begin{frame}
   $$\frac{1}{1-10^{-5}}\approx 1,0000100001=1+10^{-5}+10^{-10}$$

\pause


$$\frac{1}{1-x}=1+\delta$$


\pause

$$1=1-x+\delta(1-x)$$

\pause

$$\delta=x+\delta x$$


\pause

$$\frac{1}{1-x}\approx 1+x$$

\end{frame}

\begin{frame}
  En 1593, François \textsc{Viète} établit avec une méthode similaire
que, pour tout réel $x$ tel que
$|x|<1$, on a:
$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+\cdots$$
\end{frame}


\subsubsection{Dérivée d'un quotient}


\begin{frame}
  

\begin{theorem}[Dérivation d'un quotient]
$$y=\frac{u}{v} \Longrightarrow \hspace{20em}$$
\end{theorem}

\end{frame}




\subsubsection{Fonctions composées}




\begin{frame}
\begin{theorem}[Dérivation de fonctions composées]
$$\frac{{\rm d}   y}{{\rm d}   x}=\frac{{\rm d}    y}{{\rm d}   z}\cdot
\frac{{\rm  d}  z}{{\rm   d}  x}  \text{  ou  }   h'(x)=f'  \bigl(  g(x)
\bigr)\cdot g'(x)$$
\end{theorem}
\end{frame}









\section{Comment calculer un logarithme sur machine..au XVII\eme
  siècle?}


\subsection{Calcul d'une  approximation d'une  racine carrée  par la  méthode de \textsc{Héron}}



\begin{frame}
  

Si  $x_n$  est une  approximation  strictement  positive  par défaut  de
$\sqrt{a}$, alors $a/x_n$ est  une approximation par excès de $\sqrt{a}$
(pourquoi~?) et vice-versa.

\pause


La    moyenne   arithmétique    de   ces    deux    approximations   est
$\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$  et constitue  une meilleure
approximation que les deux précédentes.


\pause


On  peut  montrer c'est  une  approximation  par  excès (en  développant
$\left(x_n-\sqrt{a}\right)^2$ par exemple).

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]

\begin{lstlisting}
heron a x n 
  | n == 0    = x
  | otherwise = heron a ((x + a / x) / 2) (n - 1) 
\end{lstlisting}


\pause


\begin{lstlisting}
*Main> heron 2 1 5
1.414213562373095
*Main> sqrt 2
1.4142135623730951
\end{lstlisting}
  
\end{frame}



\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.9\textheight]{YBC7289}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}

\subsection{Calcul d'une approximation de log 2 par la méthode de \textsc{Briggs}}





\begin{frame}
  $\log_{10}
\left(\sqrt{10}\right)=\frac{1}{2}$,                       \pause         $\log_{10}
\left(\sqrt{\sqrt{10}}\right)=\frac{1}{4}$, \pause
etc.

\pause


\begin{center}
             \begin{tabular}{lccccc}
	     \hline
             Nombres & 10,0000 & 3,1623 & 1,7783 & 1,3335 & 1,0000\\
             Logarithmes & 1 & 0,5 & 0,25 & 0,125 & 0\\
             \hline
             \end{tabular}
             \end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{center}
\begin{tabular}{cc}
  $\sqrt{10}=10^{\frac{1}{2}}$ & $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$\\
$\sqrt{\sqrt{10}}=10^{\frac{1}{2^2}}$ & $\sqrt{\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{2^2}}$\\
$\sqrt{\sqrt{\sqrt{10}}}=10^{\frac{1}{2^3}}$ & $\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{2^3}}$\\
$\vdots$ & $\vdots$\\
$\sqrt{\sqrt{\cdots         \sqrt{10}}}=10^{\frac{1}{2^{54}}}$         &
$\sqrt{\sqrt{\cdots \sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{2^{54}}}$\\
\end{tabular}
\end{center}
\pause



\[
10^{\frac{1}{2^{54}}}\approx
\underbrace{\numprint{1,00000000000000012781914932003235}}_{1+a} \]

\[ 2^{\frac{1}{2^{54}}}\approx \underbrace{\numprint{1,00000000000000003847739796558310}}_{1+b}
\]


\pause


$$x=\log(2)\Leftrightarrow
10^x=2$$

\pause



\[
\log(2)=x\approx
\frac{b}{a}=\frac{\numprint{3847739796558310}}{\numprint{12781914932003235}}
\]



\end{frame}


\begin{frame}
   $(1+a)^x\approx 1+ax$ \pause $1+b\approx 1+ax$ \pause 
\[
\log(2)=x\approx
\frac{b}{a}=\frac{\numprint{3847739796558310}}{\numprint{12781914932003235}}
\]


\pause
 $$\log(2)\approx \numprint{0,30102999566398114}$$



\end{frame}



\begin{frame}
  
  \begin{center}
    \includegraphics[width=0.9\linewidth]{briggs}
  \end{center}


\end{frame}


\begin{frame}[fragile] \frametitle{Avec MPFR}
\python
  \begin{lstlisting}
R = RealField(113)

def racine(a,x,n):
    if n == 0:
        return R(x)
    else:
        return racine(R(a), (R(x) + R(a)/R(x)) * R(0.5), n - 1)

def sqrn(a,n):
    if n == 0:
        return R(a)
    else:
        return sqrn(racine(R(a),1.0,10), n - 1)
\end{lstlisting}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]


  \begin{lstlisting}
a = sqrn(10,54) - R(1)
b = sqrn(2,54) - R(1)

logDeux = RealField(53)(b / a)
diffLog = logDeux - (log(2.)) / log(10.)
  \end{lstlisting}

\pause

\begin{lstlisting}
sage: logDeux
0.301029995663981182
sage: diffLog
5.55111512312578e-17
\end{lstlisting}

\haskell

\end{frame}


\subsection{Polynômes interpolateurs}


\subsubsection{Qu'est-ce qu'un polynôme?}

\begin{frame}
  $$p~:~x\mapsto p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0$$

\pause

 $$P=[a_n,a_{n-1},...,a_0]$$


\end{frame}


\subsubsection{Problème d'interpolation}



\begin{frame}
  
$$
\left\{ \begin{array}{l}
p(x)=a+bx+cx^2+dx^3\\
\mathtt{map}\ p\ [1,2,3,4] = \mathtt{map}\ \log\ [1,2,3,4]
\end{array}
\right.
$$
\end{frame}


\subsubsection{Interpolation de \textsc{Newton}}\label{sec::interpolNewton}




\begin{frame}
  
\begin{figure}[h!]
  \begin{center}
    \includegraphics[height=7cm]{newton_diff}
    \caption{Problème  d'interpolation   dans  \textit{Methodus  Differentialis}
      publié par \textsc{Newton} en 1676}
    \label{fig:newton_diff}
  \end{center}
\end{figure}
\end{frame}



\begin{frame}
  $$[y_1,y_2,y_3,y_4]= \mathtt{map}\ \log\ [1,2,3,4]$$
\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
  \hline
$x=1$ & $p(x)=a+b+c+d=y_1$\\
$x=2$ & $p(x)=a+2b+4c+8d=y_2$\\
$x=3$ & $p(x)=a+3b+9c+27d=y_3$\\
$x=4$ & $p(x)=a+4b+16c+64d=y_4$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\pause


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
  \hline
 $y_2-y_1=b+3c+7d=\Delta y_1$\\
$y_3-y_2=b+5c+19d=\Delta y_2$\\
$y_4-y_3=b+7c+37d=\Delta y_3$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\pause


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
  \hline
 $\Delta y_2-\Delta y_1=2c+12d=\Delta^2 y_1$\\
 $\Delta y_3-\Delta y_2=2c+18d=\Delta^2 y_2$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\pause

$$\Delta^2 y_2-\Delta^2 y_1=6d=\Delta^3 y_1$$

\end{frame}














\begin{frame}
  
  $d=\frac{1}{6}\Delta^3 y_1$


\pause
  $c=\frac{1}{2}\Delta^2
y_1-\Delta^3y_1$

\pause

 $b=\Delta y_1-\frac{3}{2}\Delta^2
y_1+3\Delta^3y_1-\frac{7}{6}\Delta^3 y_1=\Delta y_1-\frac{3}{2}\Delta^2y_1+\frac{11}{6}\Delta^3 y_1$

\pause

$a=y_1-\Delta y_1+\frac{3}{2}\Delta^2y_1-\frac{11}{6}\Delta^3 y_1-\frac{1}{2}\Delta^2
y_1+\Delta^3y_1-\frac{1}{6}\Delta^3 y_1=y_1-\Delta y_1+\Delta^2 y_1-\Delta^3 y_1$


\pause

Finalement:

\[
P(x)=y_1+(x-1)\Delta y_1+\frac{1}{2}(x-1)(x-2)\Delta^2 y_1+\frac{1}{6}(x-1)(x-2)(x-3)\Delta^3 y_1
\]


\end{frame}




\begin{frame}
  
\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
$\mathbf{y_1}$ &                      &                       &                         \\
               &$\mathbf{\Delta y_1}$ &                       &                         \\
$y_2$          &                      &$\mathbf{\Delta^2 y_1}$&                         \\
               &$\Delta y_2$          &                       & $\mathbf{\Delta^3 y_1}$ \\
$y_3$          &                      &$\Delta^2 y_2$         &                         \\
               &$\Delta y_3$          &                       &                         \\
$y_4$          &                      &                       &                         \\
\end{tabular}
\end{center}


avec $\Delta y_i=y_{i+1}-y_i$, $\Delta^2y_i=\Delta y_{i+1}-\Delta y_i$ et $\Delta^3y_i=\Delta^2 y_{i+1}-\Delta^2 y_i$.



\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{theorem}[Interpolation  de   \textsc{Newton}  passant  par   les  points
  $(1,y_1)$, $(2,y_2)$,..., $(n,y_n)$]\label{th::newton}
\[
y_1+(x-1)\Delta y_1+\frac{1}{2!}(x-1)(x-2)\Delta^2 y_1+\cdots+\frac{1}{n!}(x-1)\cdots(x-n)\Delta^n y_1
\]
\end{theorem}

\pause

\begin{theorem}[Interpolation  de   \textsc{Newton}  passant  par   les  points
  $(α,y_1)$, $(α+1,y_2)$,..., $(α+n-1,y_n)$]\label{th::newton_gen}
\[
y_1+(x-α)\Delta y_1+\frac{1}{2!}(x-α)(x-α-1)\Delta^2 y_1+\cdots+\frac{1}{n!}(x-α)\cdots(x-α-(n-1))\Delta^n y_1
\]
\end{theorem}

\end{frame}









\section{Polynômes et erreurs}\label{sec::horner}


\begin{frame}[fragile]
  
\begin{lstlisting}
comparePoly = 
  plot X11  [ 
    Data2D [Title "Schéma Horner", Color Blue, Style Lines] [] [(x, exHorn x) | x <-  [1.94, 1.940125 .. 2.06]],
    Function2D [Title "Forme factorisée", Color Green] [Range 1.94 2.06, Step 0.000125] (\x -> exFac x)
    ]
\end{lstlisting}

\end{frame}


\begin{frame}
  

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{plot_horner}
\end{center}
%\end{figure}


\end{frame}





\begin{frame}
  

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.9\textheight]{call_duty}
\end{center}
%\end{figure}


\end{frame}





\section{Série de \textsc{Taylor}}

\subsection{Dérivées d'ordre supérieur}





\begin{frame}
  
\begin{definition}[Dérivabilité]
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle I de $\bbr$.

Soit $a\in I$. On dit que $f$  est dérivable en $a$ si, et seulement si,
le rapport:

$$\tau_a(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
admet une limite finie lorsque $a$ tend vers 0.

Dans ce cas on note $f'(a)$ cette limite.

\end{definition}

\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{definition}[D\'{e}riv\'{e}e $k^{\grave{e}me}$]

Si $f^{\prime }$ est d\'{e}rivable sur $I$ on note $f^{\prime \prime }$ ou $%
f^{(2)}$ la d\'{e}riv\'{e}e de $f^{\prime }$ et on l'appelle la d\'{e}riv%
\'{e}e seconde de $f.$ De m\^{e}me si $f^{\prime \prime }$ est d\'{e}rivable
sur $I,$ $f^{\prime \prime \prime }$ ou $f^{(3)},$ la d\'{e}riv\'{e}e de $%
f^{\prime \prime },$ est la d\'{e}riv\'{e}e troisi\`{e}me de $f.$ Plus g\'{e}%
n\'{e}ralement on note $f^{(k)}$ la d\'{e}riv\'{e}e $k^{i\grave{e}me}$ de $f$
avec la convention $f^{(0)}=f,$ $f^{(k+1)}=\left( f^{(k)}\right) ^{\prime }.$

\end{definition}

\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{definition}[Fonctions de classe $\mathcal{C}^{n},$ de classe $\mathcal{C}%
^{\infty }$]

On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n},$ $n\in \mathbb{N},$ sur $I$
ssi $f$ est $n$ fois d\'{e}rivable et ses $n$ d\'{e}riv\'{e}es sont
continues sur $I.$ On remarquera que si $f^{(n+1)}$ existe sur $I$ alors $f$
est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $I$ qui s'\'{e}crit $f\in \mathcal{C}%
^{n}(I).$ On dit que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty }$ sur $I$ pour
exprimer que $f$ est ind\'{e}finiment d\'{e}rivable et, a fortiori, que
toutes ses d\'{e}riv\'{e}es sont continues.

\end{definition}


\end{frame}



\subsection{Relations de domination}

\begin{frame}
  

\begin{quote}
  {\it Brooks's Law [prov.]

\og Adding manpower to a late software project makes it later\fg{} -- a result
of  the fact that  the expected  advantage from  splitting work  among N
programmers is $O(N)$, but the complexity and
communications cost associated with  coordinating and then merging their
work is $O(N^2)$}
\begin{flushright}
  in \og The New Hacker's Dictionnary\fg{}\\
\href{http://outpost9.com/reference/jargon/jargon\_17.html\#SEC24}{http://outpost9.com/reference/jargon/jargon\_17.html\#SEC24}
\end{flushright}
\end{quote}
\end{frame}






\begin{frame}
  
\begin{definition}[\og Grand O\fg{}]
Soit $f$ et $g$ deux fonctions  de $\bbn$ dans $\bbr$. On dit que $f$
est un \og grand O\fg{} de $g$ et on note $f=O(g)$ ou $f(n)=O(g(n))$ si,
et seulement si, il existe une constante strictement positive C telle que $$|f(n)|\leqslant
C|g(n)|$$ pour tout $n\in \bbn$.
\end{definition}


\end{frame}





\begin{frame}
  
\begin{definition}[\og Grand Oméga\fg{}]
  Soit $f$ et $g$ deux fonctions  de $\bbr$ dans lui-même. On dit que $f$
est un \og grand Oméga\fg{} de $g$ et on note $f=\Omega(g)$ ou $f(n)=\Omega(g(n))$ si,
et seulement si, il existe une constante strictement positive C telle que $$|f(n)|\geqslant
C|g(n)|$$ pour tout $n\in \bbn^*$.
\end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{definition}[\og Grand Théta\fg{}]
$$f=\Theta(g)\Longleftrightarrow
\begin{cases}
  f=O(g)\\ f=\Omega(g)
\end{cases}
$$
\end{definition}

\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{center}
             \begin{tabularx}{\linewidth}{Y{3}}
	     \whline
             \backslashbox{coût}{$n$}&100&$\numprint{1000}$&$10^6$&$10^9$\\
             \whline
             $\log_2(n)$&$\approx7$&$\approx10$&$\approx 20$&$\approx 30$\\
             \hline
             $n\log_2(n)$&$\approx 665$&$\approx \numprint{10000}$&$\approx  2\cdot  10^{7}$&$\approx 3\cdot 10^{10}$\\
             \hline
             $n^2$&$10^4$&$10^6$&$10^{12}$&$10^{18}$\\
             \hline
             $n^3$&$10^6$&$10^9$&$10^{18}$&$10^{27}$\\
             \hline
             $2^n$&$\approx 10^{30}$&$>10^{300}$&$>10^{10^5}$&$>10^{10^8}$\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

\end{frame}






\begin{frame}
  

\begin{definition}[\og Petit o\fg{}]
$f=o(g)$ si, et seulement  si, pour toute constante positive $\varepsilon$,
il existe un entier $n_0$ tel 
que, pour tout $n \geqslant n_0$, $$\left|f(n)\right| \leqslant \varepsilon\left|g(n)\right|$$
\end{definition}
\end{frame}





\begin{frame}
  
\begin{theorem}[Manipulation des O]
  \begin{itemize}
  \item $O(f)+O(g)=O(f+g)$;
\item $f=O(f)$;
\item $k\cdot O(f)=O(f)$ si $k$ est une constante;
\item $O \left(O(f)\right)=O(f)$;
\item $O(f)\cdot O(g)=O(f\cdot g)$;
\item $O(f\cdot g)=f\cdot O(g)$.
  \end{itemize}
\end{theorem}
\end{frame}






\subsection{Polynôme de \textsc{Taylor}}






\begin{frame}
  
 
\begin{theorem}[Polynôme de \textsc{Taylor}]
Soit I un  intervalle, soit $f$ une  fonction de Ιvers $\bbr$  de classe $\CR^n$
avec  $n\in\bbn$   et  soit  $a$  un   élément  de  I.  Il   existe  alors  un
\textit{unique} polynôme  $T_{n,a}$ de degré au  plus $n$ dont les  dérivées jusqu'à
l'ordre $n$ coïncident en $a$ avec celles de $f$.
De plus:

$$
T_{n,a}(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!}
f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f^{(3)}(a)+\cdots +\frac{(x-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)
$$
  
\end{theorem}


\pause
  $$T_{n,a}^{(k)}(a)=f^{(k)}(a)$$
\end{frame}







\begin{frame}
 \begin{eqnarray*}
  \label{eq:1}
  T_{n,0}(x)&=&\exp(0)+(x-0)\exp'(0)+\frac{(x-0)^2}{2!}\exp''(0)\\
\pause
        &=&1+x+\frac{x^2}{2}
\end{eqnarray*}

\end{frame}


\begin{frame}
  $$
f(x)       =  T_{n,a}(x)   +R_{n,a}(x)
$$
\end{frame}








\subsection{Formule de \textsc{Taylor-Lagrange}}





\begin{frame}
  
\begin{theorem}
 Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n}$ sur $\left[ a,x%
\right] $ et si $f^{(n+1)}$ existe sur $\left] a,x\right[ $ alors il existe
au moins un r\'{e}el $c\in \left] a,x\right[ $ tel que : 
\begin{equation*}
f(x)=T_{n,a}(x)+\frac{%
\left( x-a\right) ^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)
\end{equation*}%
On dit que l'on a \'{e}crit la formule de Taylor Lagrange \`{a} l'ordre $n.$
\end{theorem}

\end{frame}








\subsection{Formule de Taylor-Mac Laurin}



\begin{frame}
  
\begin{theorem}
$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}f^{(k)}(0)+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}%
f^{(n+1)}(\theta x)$$
\end{theorem}
\end{frame}


\subsection{Formule de Taylor avec reste int\'{e}gral}

\begin{frame}
  
\begin{theorem}
$$\forall x\in I,f(x)=T_{n,a}(x)+\int\limits_{a}^{x}\frac{\left( x-t\right) ^{n}}{n!}f^{(n+1)}(t)dt$$
\end{theorem}

\end{frame}





\subsection{Formule de Taylor-Young.}
\begin{frame}
  
\begin{theorem}
$$\forall x\in I,f(x)=T_{n,a}(x)+o\left( (x-a)^{n}\right)$$
\end{theorem}
\end{frame}





\section{D\'{e}veloppements limit\'{e}s}


\subsection{Voisinage}




\subsection{Définition}


\begin{frame}
  

\begin{definition}
   On dit que $f,$ d\'{e}finie sur $\mathcal{V}_{a},$ admet un
d\'{e}veloppement limit\'{e} d'ordre $n\in \mathbb{N}$ au voisinage de $a$
(on \'{e}crit en abr\'{e}g\'{e}: \og $f$ admet un $DL_{n}V(a)$\fg{}) s'il existe
un polyn\^{o}me $P_{n}\in \mathbb{R}_{n}\left[ X\right] $ (ensemble des polyn%
\^{o}mes de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n)$ et une fonction $%
\varepsilon $ v\'{e}rifiant : 
\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{c}
\forall x\in \mathcal{V}_{a},f(x)=P_{n}(x-a)+(x-a)^{n}\varepsilon (x) \\ 
\varepsilon (a)=0 \\ 
\underset{x\rightarrow a}{\lim }\varepsilon (x)=0%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}

c'est-à-dire $f(x)=P_n(x-a)+o \Bigl( (x-a)^n \Bigr)$.

\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
  
$$
q > p \limp (x-a)^q \underset{a}{=}o \Bigl( (x-a)^p \Bigr)
$$
\end{frame}

\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
